有理関数：定義、特異点、漸近線、用途

構造と特異点

有理関数の定義域からは、分母をゼロにする値が除かれる。分子の零点は関数の根、すなわちx切片を与える。一方、分母の零点は通常、垂直漸近線または除去可能な穴を生じさせる。分子と分母の共通因子が約分される場合、その約分は漸近線ではなく、除去可能な不連続点（「穴」）を生じさせる。

漸近線と無限遠での挙動

無限遠での挙動は、分子と分母の次数に依存する。代表的な場合は次のとおりである。

• deg(p) < deg(q)：水平漸近線は y=0 である。
• deg(p) = deg(q)：水平漸近線は最高次係数の比で決まる。
• deg(p) = deg(q)+1：多項式の除法によって得られる斜漸近線をもつ。
• deg(p) > deg(q)+1：無限遠での挙動は、多項式と真の有理式部分の和に従う。

用途と例

有理関数は、微積分学における極限や部分分数分解による積分、微分方程式、制御理論、近似理論に現れる。メビウス変換のように分子・分母がともに一次式である単純な有理写像は、幾何学と複素解析において基本的である。微積分における標準的な例として、有理関数をより簡単な分数へ部分分数分解して積分する方法がある。

歴史と文脈

多項式の比の研究は古典的なものであり、代数的操作から発展し、のちに微積分学と複素解析で重要になった。有理関数は複素平面上の有理型関数の基本例である。有理型関数は、孤立した極、すなわち分母の零点を除いて正則な関数である。

関連概念と主な性質

有理関数は、分母がゼロでない範囲では、加法、乗法、合成について閉じている。有理関数は、根を含むことがある代数関数や、指数関数・三角関数のような超越関数とは区別される。複素解析では、各位数nの極が留数計算と周回積分に影響するため、有理関数は多くの計算で特に扱いやすい。