有理化（数学）：分母から根号や無理式を取り除く方法

一般的な手順と簡単な例

基本的な技法は、分母を有理式に変える「1の形」を掛けることである。平方根が一つだけの場合、その方法は簡単である。1/√2 に √2/√2 を掛けると、√2/2 となる。根号を含む二項からなる分母では、通常、分子と分母に共役式を掛ける。例えば、1/(3+√2) に (3−√2)/(3−√2) を掛けると、(3−√2)/(9−2) = (3−√2)/7 が得られる。

一般化と代数的観点

分母に高次の代数数、たとえば立方根や根号の組合せが含まれる場合、有理化には分母の最小多項式から選んだ多項式を掛けることが必要になる場合がある。代数的整数論では、この考え方は体ノルムと関係する。適切な共役を掛け合わせることで、分母に有理数、または体の要素を得られる。有理化は、後の操作を簡単にする場合には分子に対しても行うことができる。

実用上の利点には、式を標準形に整えること、加算や比較を容易にすること、さらに微積分における極限や積分を簡単にできる場合があることが挙げられる。ただし、有理化によって式が大きくなることもある。単純な根号を除去した結果、より大きな整数係数や高次の項が導入される場合がある。

主な注意点は次のとおりである。

• 単純な根号では、必要に応じて同じ根号（√a）または共役式（a−b√c）を用いる。
• より複雑な代数的分母では、最小多項式やノルムを考慮する。
• 有理化は表現の選択である。現代の計算手段による計算では常に必要とは限らないが、理論および厳密な記号計算では依然として有用である。

歴史的には、分母から根号を除くことは、答えを慣習的な形で示すために、手計算や記号代数で重視されてきた。今日でもこの技法は代数学の授業における標準的な手法であり、体論および代数的整数論のより深い話題への有用な橋渡しとなっている。