リーマン予想

Riemann仮説とは？

リーマン・ゼータ関数とは？

リーマン・ゼータ関数は、関数の一種です。関数とは、数学でいうところの方程式のようなものです。関数は、数字を受け取り、他の数字を返します。これは、質問をすると答えが返ってくるのと同じです。あなたが入れた数字は「入力」と呼ばれます。返ってくる数字を「値」といいます。リーマン・ゼータ関数に入力するたびに、特別な値が返ってきます。ほとんどの場合、入力ごとに異なる値が得られます。しかし、それぞれの入力は、それを使うたびに同じ値を与えます。リーマン・ゼータ関数に入力した値も、得られた値も、複素数と呼ばれる特別な数です。複素数とは、2つの部分からなる数のことです。

非自明なルートとは？

リーマン・ゼータ関数にある入力を入れると、数字のゼロが返ってくることがあります。このような場合、その入力をリーマン・ゼータ関数のルートと呼びます。ゼロが返ってくる入力を「根」と呼びます。根はたくさん発見されている。しかし、ある根は他の根よりも簡単に見つけることができる。その根を「自明な根」「自明でない根」と呼びます。簡単に見つけられる根を「自明」と呼びます。しかし、見つけるのが難しい根を「非自明」と呼びます。三つ子の根は、「負の偶数」と呼ばれる数字です。簡単だと思われるのは、見つけるのが簡単だからです。三つ子の根が何であるかについては、きちんとしたルールがあります。ベルンハルト・リーマンが出した方程式のおかげで、3つの根が何であるかがわかりました。その方程式は「リーマンの関数方程式」と呼ばれています。

非自明な根をどうやって見つけるか？

非自明な根は見つけるのが難しい。三つ子の根よりも見つけるのが難しいです。非自明な根は、それが何であるかを示すようなきちんとした規則がありません。見つけるのが難しくても、たくさんの非自明根が発見されています。リーマン・ゼータ関数の値は、複素数と呼ばれる種類の数字だったことを思い出してください。そして、複素数には2つの部分があることを覚えておいてください。そのうちの1つは「実数部」と呼ばれています。非自明根の実数部について、興味深いことに気がつきました。私たちが見つけた自明でない根はすべて、実数部分が同じ数になっています。この数字は1/2で、これは分数です。このことから，実部の大きさはどれくらいかというリーマンの大きな疑問が浮かび上がってきます。この疑問がリーマン仮説です。自明でない根はすべて実部1/2であるか」という問題です。その答えが「イエス」なのか「ノー」なのかは、現在も解明されていません。

これまでにわかったことは？

その答えは、まだわかりません。しかし、いくつかの良い事実を知っています。これらの事実は私たちの助けになるかもしれません。自明でない根の実数部分に関する事実を見つける方法があります。それは、リーマンの特殊方程式（リーマンの関数方程式）を使うことです。リーマンの関数式は，実数部の大きさを教えてくれます．すべての自明でないゼロは、実数部が1/2に近いことを示しています。実数部の大きさは、どのくらい小さくてもいいし、どのくらい大きくてもいいということです。しかし、実部が何であるかについては正確には書かれていません。具体的には、実数部は0より大きくなければならないと書かれていますが、1より小さくなければなりません。しかし、実数部が1/2に非常に近い非自明な根が存在するかどうかは、まだわかりません。もしかしたらあるかもしれませんが、まだ見つかっていません。実数部が0より大きく1より小さい複素数のグループは、「臨界片」と呼ばれています。

写真で見るRiemann Hypothesis

このページの右上の絵は、リーマン・ゼータ関数を表しています。非自明な根は、白い点で示されています。写真の真ん中あたりに一列に並んでいるように見えますね。左にも右にも行き過ぎていません。肝心なのは、自分がどれだけ左右にいるかということ。写真の真ん中にいるということは、実部が1/2であることを意味します。つまり、この絵の中の自明でない根は、すべて実数部が1/2になります。しかし、リーマン・ゼータ関数は大きすぎて表示できないので、この絵はすべてを表示していません。では、絵の上下にある自明でない根はどうでしょうか？それらも中央にあるのでしょうか？もし、真ん中にあるというパターンを崩したらどうでしょう？少し左や右にあるかもしれません。リーマン仮説とは、すべての自明でない根（白い点）が、真ん中の線上にあるかどうかを問うものです。答えがノーであれば、「仮説は偽」と言います。つまり、与えられた線上にない白い点があるということになります。