シュワルツシルト解

派生

シュワルツシルトメートル法を計算するためのより複雑な方法は、Christoffel Symbolsを使って見つけることができるが、逃避速度( v e {displaystyle v_{e}} )、時間拡張( dt')、長さ収縮( dr')の方程式を使って導出することもできる。

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}(1)

vは粒子の速度
Gは重力定数
Mはブラックホールの質量
rは粒子と重い物体の
距離

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {displaystyle dt'=dt{\style dt' =dt{Sqrt {1-{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{dr}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}(3)

dt'は粒子の真の時間変化
dtは粒子の真の
時間変化
dr'は粒子の真の移動距離
drは粒子の距離変化
vは粒子の速度
cは光速

注意：粒子はそのような重い重力場の中を移動しているので、粒子が移動した真の時間間隔と真の距離は、古典物理学の計算で計算された時間と距離とは異なります!

球面座標での平面時空の方程式を用いて

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(d\theta )(d\phi )^{2}} {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )(4)

dsは粒子の経路

θは角度。
角度の変化です。

脱出速度、時間拡張、長さ収縮の方程式（1,2,3式）を平面時空の方程式（4式）に入力すると、シュワルツシルト量論が得られます。

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-.c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^{2}s\sin ^{2}(d\theta )(d\phi )^{2}}.(5)

この式から、このブラックホールの半径であるシュワルツチャイルド半径 ( r s {\displaystyle r_{s}} ) をができる。これはシュワルツシルトブラックホールを表現するために最も一般的に使われているが、シュワルツシルト半径はどんな重い物体でも計算することができる。

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-.c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(d\theta )(d\phi )^{2}}(6)

r s {\displaystyle r_{s}}は、オブジェクトの設定半径の限界である。