シュワルツシルト計量：非回転ブラックホールの解説と定義

シュワルツシルト計量を図解で徹底解説：非回転ブラックホールの定義、数学的導出と物理的意義をわかりやすく紹介。

著者: Leandro Alegsa

22-12-2025 21:25

シュワルツシルト計量は、1916年にアインシュタインの場の方程式の解としてカール・シュワルツシルトによって導かれました。一般にシュワルツシルト解と呼ばれ、これは真空中（物質や電荷、角運動量が存在しない領域）に対する一般相対性理論の外側解の一つです。特に、シュワルツシルト・メトリックは、シュワルツシルト・ブラックホールの周りの重力場、つまり、回転しない球状のブラックホールで磁場を持たず、宇宙論的定数がゼロである場合の重力場を記述します。これは宇宙物理学や重力理論の基礎的な解の一つで、ブラックホールや太陽近傍の重力現象の理解に広く用いられます。

簡単に言えば、シュワルツシルト計量は、ブラックホールや球対称な質量によって作られる空間時間で、粒子や光線がどのように運動するか（測地線）を記述する方程式を与えます。以下に定義と主要な性質を整理します。

定義と仮定

真空解：場の方程式の右辺（エネルギー・運動量テンソル）がゼロの領域を想定します。
球対称性：系は角度方向で一様（回転や非球対称な分布を含まない）であると仮定します。
静的：時間反転対称で時刻依存性がなく、角運動量（回転）や電荷がゼロであることを前提とします。
漸近的平坦性：遠方では平坦（ミンコフスキー）時空に近づきます。

メートル（計量）形式

標準的なシュワルツシルト座標（t, r, θ, φ）における計量は次のように表されます。

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 { {displaystyle (ds)^{2}=-.c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}}}(dr)^{2}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^{2}s\sin ^{2}(D\theta ) $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

上の式を読みやすく書くと：

ds² = -c² (1 - 2GM/(rc²)) dt² + dr² / (1 - 2GM/(rc²)) + r² dθ² + r² sin²θ dφ²

ここで G は万有引力定数、M は中心天体の質量、c は光速です。

重要な半径と特性

シュワルツシルト半径（事象の地平線の半径）：r_s = 2GM/c²。r = r_s は標準シュワルツシルト座標での座標特異点になり、外部の観測者にとって内部情報が届かなくなる境界（事象の地平線）を表します。
物理的特異点：r = 0 では曲率不変量（例：リッチ曲率やクレイトン＝シモンズカラ）が発散し、真の物理的特異点となります。
光子球面：光が円軌道をとる不安定な位置が r = 3GM/c²（＝1.5 r_s）にあります。
最小安定円軌道（ISCO）：自由落下粒子の安定な円軌道の内側限界は r = 6GM/c²（＝3 r_s）です（シュワルツシルトの場合）。

物理的意味と観測的検証

重力赤方偏移：シュワルツシルト計量は、重力場中で光の周波数が変化する（赤方偏移）ことを説明します。
光の曲がりとレンズ効果：光の経路が曲がる現象（重力レンズ）が計量から導かれ、観測と一致します。
水星の近日点移動や光偏向、重力赤方偏移などの古典的検証は、シュワルツシルト近似で説明可能です。
ブラックホール影や重力波観測（合併後の環境）は、シュワルツシルトやその一般化（回転：Kerr 解など）を検証する手段となっています。

座標と特異点の扱い

r = r_s の特異点は座標による特異性（座標特異点）であり、適切な座標変換（例：エディントン—フィンケルシュタイン座標、カルテシアン型拡張、クロフォード—クリフォードなど）を用いれば滑らかに越えることができます。一方、r = 0 の特異点は曲率の発散に伴う物理的特異点で、古典的な一般相対性理論では避けられません。

拡張と一般化

シュワルツシルト解は非回転かつ帯電していない球対称系に対応します。電荷を持つ場合はReissner–Nordström解、回転を含む場合はKerr解が対応します。また宇宙論的定数を含めた一般化（Schwarzschild–de Sitter 解など）も存在します。

以上がシュワルツシルト計量の基本的な定義と主要な性質の概説です。具体的な測地線方程式や光線方程式の導出、安定性解析、数値シミュレーションによる観測モデリングなどは、さらに詳細な数学的取り扱いを要しますが、本稿は概念的かつ物理的直観を中心にまとめました。

派生

シュワルツシルトメートル法を計算するためのより複雑な方法は、Christoffel Symbolsを使って見つけることができるが、逃避速度( v e {displaystyle v_{e}} )、 $v_{e}$ 時間拡張( dt')、長さ収縮( dr')の方程式を使って導出することもできる。

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

vは粒子の速度
Gは重力定数
Mはブラックホールの質量
rは粒子と重い物体の
距離

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {displaystyle dt'=dt{\style dt' =dt{Sqrt {1-{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{dr}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt'は粒子の真の時間変化
dtは粒子の真の
時間変化
dr'は粒子の真の移動距離
drは粒子の距離変化
vは粒子の速度
cは光速

注意：粒子はそのような重い重力場の中を移動しているので、粒子が移動した真の時間間隔と真の距離は、古典物理学の計算で計算された時間と距離とは異なります!

球面座標での平面時空の方程式を用いて

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(d\theta )(d\phi )^{2}} {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta ) $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

dsは粒子の経路

θ $\theta$ は角度。
角度の変化です $\theta$ 。 $\phi$

脱出速度、時間拡張、長さ収縮の方程式（1,2,3式）を平面時空の方程式（4式）に入力すると、シュワルツシルト量論が得られます。

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-.c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^{2}s\sin ^{2}(d\theta )(d\phi )^{2}}. $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

この式から、このブラックホールの半径であるシュワルツチャイルド半径 ( r s {\displaystyle r_{s}} ) を $r_{s}$ ができる。これはシュワルツシルトブラックホールを表現するために最も一般的に使われているが、シュワルツシルト半径はどんな重い物体でも計算することができる。

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-.c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(d\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}}は $r_{s}$ 、オブジェクトの設定半径の限界である。

質問と回答

Q:シュヴァルツシルト・メトリックとは何ですか?

A:シュヴァルツシルト計量とは、宇宙物理学の分野における一般相対性理論の方程式で、ブラックホール付近の空間を粒子がどのように移動するかを記述するものです。1916年にカール・シュヴァルツシルトがアインシュタインの場の方程式の解として計算したものです。

Q: メトリックとは何を指すのですか?

A: メトリックとは、時空を記述する方程式のことで、特にシュワルツシルト・メトリックは、シュワルツシルト・ブラックホール周辺の重力場を記述する。

Q: シュヴァルツシルト・ブラックホールにはどのような特徴がありますか?

A: シュヴァルツシルト・ブラックホールは、非回転、球形、磁場を持たない。また、宇宙定数は0である。

Q: シュヴァルツシルト・ブラックホール周辺の重力場はどのように表現するのですか?

A:シュワルツシルト・ブラックホール周辺の重力場は、シュワルツシルト・メトリック方程式で表現できます。この方程式は、このタイプのブラックホール周辺の空間における粒子の動きを記述しています。

Q: この方程式を最初に計算したのは誰ですか?

A:カール・シュバルツチャイルドが1916年にアインシュタインの場の方程式の解としてこの方程式を初めて計算しました。

Q: この方程式の(ds)^2は何を表しているのか?

A:(ds)^2 は、時空座標を基準として測定された時空上の2点間の距離を表しています。

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