単体（n次元単体）

性質と組合せ論

組合せ論的には、n次元単体はn+1個の頂点をもち、面の集合が明確に定まる。0 ≤ k ≤ n を満たす各kについて、k次元面の個数は二項係数 C(n+1, k+1) である。したがって、辺の数は C(n+1, 2)、ファセット（余次元1の面）の数はn+1であり、単体は多胞体として自己双対である。n次元単体の内部の各点は、その頂点に関する重心座標で一意に表される。この座標は、総和が1となる非負の重みである。

代数的・計量的記述

座標による便利な模型はいくつか存在する。標準n次元単体は、すべての xi が xi ≥ 0 を満たし、かつ xi の総和が1である Rn+1 内の点 (x0, x1, ..., xn) の集合としてしばしば定義される。等価的に、任意のn次元単体は、この標準単体をアフィン写像で写した像として記述できる。単体の体積（超体積）は、辺ベクトルの行列式から、または辺の長さの二乗によって体積の二乗を表すケイリー＝メンガー行列式によって計算できる。

正単体と構成

正単体とは、すべての辺の長さが等しい単体である。これは正多胞体であり、正(n−1)次元単体をとり、既存のすべての頂点から等距離にある新たな頂点を加えることで構成できる。辺の長さが与えられたとき、正単体は等長変換を除いて一意である。4次元の正単体は、ペンタコロンまたは5胞体と呼ばれることがあり、ペンタコロンともいう。正単体は双対化の下でも単体のままである。既存の単体のすべての頂点に結ばれた頂点を一つ加える操作は、次元を一つ上げる標準的な方法であり、新しい頂点を既存の全頂点に結ぶことで(n−1)次元単体からn次元単体を作る。

用途、例、および関連概念

単体は、代数的位相幾何学では単体複体のセルとして、計算幾何学では三角形分割やメッシュ生成において、また有限要素法などの数値計算では領域を近似する単体要素として中心的な役割を果たす。この語は最適化にも現れ、単体法は凸多面体の頂点上で動作して線形計画問題を解く。位相幾何学および組合せ論では、単体から構成される単体複体が、連結性と接続関係の情報を組合せ論的に符号化する。

主な事実と区別

• n次元単体にはちょうどn+1個のファセットがあり、n次元で最も単純な凸多胞体である。
• n+1個のアフィン独立な点の任意の集合はn次元単体を定め、逆にn次元単体の頂点はアフィン独立である。
• 体積の公式は行列式から得られ、ケイリー＝メンガー行列式は辺長による一般的な表式を与える。
• 正単体はすべての次元で正多胞体であり、幾何学的構成では基準形状としてしばしば用いられる（正多胞体）。

基本的な直観として、0次元単体を点、1次元単体を線分、2次元単体を三角形、3次元単体を身近な四面体と考えるとよい。より高次元の単体は、これらの性質を素直な組合せ論的・幾何学的な形で拡張したものであり、数学とその応用全般において簡潔で広く適用可能な概念であり続けている。