ソボレフ空間—弱導関数のための関数空間

定義と基本性質

非形式的には、ソボレフ空間 W^{k,p}(Ω) は、領域 Ω 上で定義され、k 次までの導関数が弱い意味で存在し、ルベーグ空間 L^p(Ω) に属する関数からなる。p=2 のとき、これらの空間はヒルベルト空間となり、しばしば H^k(Ω) と記される。そのノルムは関数自身とその弱導関数の L^p ノルムを組み合わせたものであり、W^{k,p} をバナッハ空間にする。重要な性質として、完備性、局所性、ならびに関数の大きさと滑らかさを単一の尺度で測定できることが挙げられる。

重要な定理と帰結

いくつかの構造的結果により、ソボレフ空間は強力な道具となっている。

• マイヤーズとセリンによる稠密性定理（1964年）は、多くのソボレフ空間において滑らかな関数が稠密であることを保証し、古典的関数による近似を正当化する。
• ソボレフ埋め込み定理は、可積分性と微分可能性を連続性および各点での挙動に結び付け、ソボレフ関数が連続な代表元をもつための条件を与える。
• レリッヒ＝コンドラチョフの定理などのコンパクト性に関する結果は、変分法および偏微分方程式の弱解の研究において基本的である。

歴史と発展

この概念は、1930年代に微分方程式の研究においてこれらの空間を導入したセルゲイ・ソボレフにちなんで名付けられた。その後、理論は分数階、重み付きの版、さらに多様体上または距離測度空間上の空間を含むように拡張された。解析的な特徴付けでは全空間上のフーリエ変換が用いられる一方、幾何学的・局所的な結果は領域の性質に依存する。

変種、関係および特徴付け

ソボレフ空間には多くの変種がある。整数階の W^{k,p}、分数階の W^{s,p}（p=2 の場合は H^s）、斉次空間と非斉次空間、境界上のトレース空間などである。これらはベゾフ空間やトリーベル＝リゾルキン空間といった他の滑らかさの尺度と密接に関係する。例えば、特定のパラメータの選択のもとでは、あるベゾフ類は分数階ソボレフ空間と一致する。この関係は調和解析および近似理論で有用である。詳細はベゾフ空間を参照。

応用と例

ソボレフ空間は、楕円型および放物型の偏微分方程式の弱形式にとって自然な設定を与える。すなわち、弱解の定義、変分法、エネルギー評価、コンパクト性の議論を可能にする。また、有限要素近似や偏微分方程式の数値解析の基礎にもなっている。ユークリッド全空間上で与えられた問題にはフーリエ変換による記述が便利なことが多く、有界領域では拡張定理と境界トレースに関する結果が広く用いられる。偏微分方程式とその応用の一般的な入門については、標準的な文献、または偏微分方程式の入門書を参照されたい。

関数空間の埋め込み、補間、他の滑らかさの尺度との関係についての追加的な文献と技術的詳細は、高度な解析学の教科書や概説に見いだされる。入門的な解説では、しばしば W^{1,2} や H^1 といった具体例から始め、次いで分数階および重み付きの変種へと進む。