球面座標系：定義、直交座標との変換、規約と応用

定義と座標間の関係

球面座標 (r, θ, φ) と直交座標 (x, y, z) の標準的な変換は、次の関係で与えられる。

• x = r sin θ cos φ
• y = r sin θ sin φ
• z = r cos θ

ここで r ≥ 0 である。極角の代表的な範囲は 0 ≤ θ ≤ π であり、方位角 φ の範囲は採用する規約に依存する。逆変換では、r = √(x² + y² + z²) として距離を求め、角度は逆三角関数から定められる。符号と象限を正しく扱うため、実用上は atan2(y, x) 型の関数を用いて φ を求めることが多い。直交座標による表現については直交座標系を参照。

一般的な規約と実用上の注意

どちらの角を θ または φ と呼ぶか、また各角度のゼロ方向をどこに置くかについては、分野によってわずかに異なる規約がある。数理物理学では、θ を正の z 軸から測る極角、φ を x-y 平面において正の x 軸から測る方位角とすることが一般的である。一方、測地学や航法の文脈では、緯度に似た角度を極からではなく赤道から測る場合がある。このため、地理学上の緯度・経度との対応は確認しなければならない。地理経度は方位角座標に対応し、θ が余緯度であるとき、地理緯度は 緯度 = 90° − θ の関係で極座標に関連づけられる。地球に関わる利用については、経度、緯度、および地球に関する一般的な説明を参照。

微分要素、単位ベクトル、特異点

球面座標系では、単位ベクトルは一定ではなく、ヤコビアンは位置に依存する。この座標系での微積分に重要な式には、線素 ds² = dr² + r² dθ² + r² sin² θ dφ²、および体積要素 dV = r² sin θ dr dθ dφ がある。単位基底ベクトルは通常 r̂、θ̂、φ̂ と表され、直交座標系の単位ベクトルとは異なり、位置に応じて向きが変化する。実用上の特異性は2つある。sin θ = 0 となる極軸上では方位角 φ が定義されず、また φ が 2π から 0 に戻るように扱われる際には、選択した枝切りに沿って不連続性が生じる。

応用、例、変換

球面座標は、点質量または点電荷の周囲における重力場・電場、球内の波動方程式、アンテナの指向性パターン、恒星の天球座標、地理学および海洋学の地図作成など、動径対称性をもつ問題に広く使われる。数値計算を適用したり図示したりする際には、球面座標から直交座標への変換がよく行われる。たとえば r = 2、θ = π/2、φ = 0 の点は、直交座標では (x, y, z) = (2, 0, 0) に対応する。

規約には違いがあるため、座標を示す際には θ と φ の定義を常に明記することが重要である。球面上で積分する場合は、体積積分または面積分に現れる sin θ の因子を忘れてはならない。視覚的な導入や図については、角度、距離、および球に関する一般的な資料を参照できる。

地球儀上の点を定める歴史的な方法や球面三角法の発展は、近代的な記法よりも古い。解析幾何学とベクトル解析の発展に伴い、3つのパラメータによる簡潔な球面座標表示が標準的になった。現在、科学・工学で球面座標を用いる際の主な実用上の課題は、規約を明確に指定することと、特異な方向を注意深く扱うことである。