概要

立体射影は、球面上の1点を除くすべての点を平面上の一意な点に対応させる幾何学的な写像である。基本的には、選んだ射影点（しばしば北極と呼ばれる）から、反対側の点に接する平面へ球面を投影する。この構成は幾何学や、ほかの数学的写像の分野で広く現れ、2次元の球面と平面の間に単純で明示的な対応を与える。

構成と基本式

標準的な設定では、3次元空間内の単位球を用い、北極から南極で接する平面へ射影する。球面上の点が座標 (x,y,z) をもつとき、平面 z=0 上の立体射影像は (X,Y) = (x/(1-z), y/(1-z)) で与えられる。逆に、平面上の点 (X,Y) に対応する球面上の点は (2X/(X^2+Y^2+1), 2Y/(X^2+Y^2+1), (X^2+Y^2-1)/(X^2+Y^2+1)) となる。これらの明示的な式により、射影は解析的な作業や、球面や拡張平面（平面に無限遠点を加えたもの）での数値計算に有用となる。

重要な性質

立体射影には、いくつかの幾何学的な特徴がある。これは正角、すなわち交わる曲線どうしの角度を保つ写像であり、そのため複素解析や正角写像の理論で重要である。面積は保存しないため、射影点に近い球面上の領域は、平面上ではいくらでも大きい領域として表される。代表的な性質として、射影点を通らない球面上の円は平面上でも円に写り、射影点を通る円は平面上で直線になる。

歴史的背景と発展

立体射影の形は古典天文学や器具設計で用いられ、その後、数学的研究の中で採用・定式化された。何世紀にもわたり、これは球面三角法や地図作成の標準的な道具となり、19世紀には拡張複素平面（リーマン球面）の幾何学モデルを与えることで、複素解析で中心的な重要性を得た。現代の解説では、この射影はモビウス変換や球面内反転とも結び付けて説明される。

応用と例

  • 複素解析: 複素平面に無限遠点を加えたものを球面（リーマン球面）と同一視すると、有理写像やモビウス変換を視覚化しやすくなる。詳しくは複素解析を参照。
  • 地図作成と写像: 地図投影の考え方や、球面データを平面に描くための方法として使われる。実用的な道具には、構造地質学や結晶学で用いられるステレオネット、またはウルフネットがある（地質学）。
  • 写真と可視化: 広角画像や球面パノラマでは、仮想カメラからの像を平らに展開するために、関連する射影がしばしば利用される（写真術）。
  • 教育と計算: この射影は計算が容易なため、コンピュータや作図システムが球座標を平面表示へ変換するのに用いる（数値計算ツール）。
  • 実際の示例: 単純な物理的なたとえとしては、遠方の光源で地球儀の影を平面に落とすことがある（地図作成や説明模型）。

区別と注目点

立体射影は正角である一方、面積は保存しないため、角度の正確さが等積性よりも重要な場合に選ばれる。球面から1点を取り除いたものと平面全体との間に一対一対応を与え、その取り除かれた点は平面模型では無限遠点に対応する。また、この射影は円の反転やモビウス変換と美しく結び付くため、幾何学と複素関数論が交わる中心的な位置を占める。入門的な説明や図解については、球面、数学的応用、および実際の構成法に関する資料（射影写像、幾何学、複素解析）を参照するとよい。

定義は単純でも、立体射影は深い帰結をもつ。球面上の多くの曲線的な問題を、古典的な解析手法が使える平面上の問題へと変換するため、球面幾何学と平面解析をつなぐ架け橋となっている。