数学の分野で、全射（サージェクティブ関数）とは、次の性質を満たす 関数 f : A → B のことを言います。つまり、共領域（コドメイン）である 共領域 B の任意の要素 b に対して、定義域（ドメイン） 領域 A の中に少なくともひとつの元 a が存在して f(a) = b となる、という条件です。これは言い換えれば、f の 範囲（像, image）と共領域が一致することを意味します。

英語では "surjective" や "onto" と呼ばれ、集合論や写像論で重要な概念です。用語としての サージェクション、インジェクション（単射）、バイジェクション（全単射）は、ニコラス・ブルバキを名乗る数学者グループが導入しました。1930年代に彼らは現代数学の基礎を整理する一連の著作を発表しました。フランス語の接頭辞 sur は「上に」「に向かって」などの意味を持ち、写像が定義域から共領域全体を「写す（onto）」ことを表しています。

定義（形式的）

関数 f: A → B は次を満たすとき全射である：

∀b ∈ B，∃a ∈ A こうして f(a) = b が成り立つ。

別の表現としては、像 f(A) = B が成り立つこと、または記法で f: A ↠ B と表すことがあります。

主な性質

  • 像と共領域の一致：全射 ⇔ f(A) = B。
  • 合成について：もし f: A → B と g: B → C があり、両方全射なら合成 g ∘ f も全射である。逆に、g ∘ f が全射であるならば g は全射だが、f が全射であるとは限らない。
  • 逆写像（右逆）：全射であれば右逆写像 r: B → A（つまり f ∘ r = id_B）を持つことが望まれる。任意の集合に対して常に右逆を構成できるかどうかは選択公理に依存するが、具体的に選べる場合は右逆が存在する。
  • 有限集合の場合の個数関係：A, B が有限集合ならば、全射が存在するための必要条件は |A| ≥ |B| であり、|A| = |B| のとき全射は同時に単射（つまり全単射）である。
  • 濃度と全射：無限集合では全射や単射を使って集合の大きさ（濃度）を比較する。例えば集合 A から B への全射が存在することは「|B| ≤ |A|」を意味する。
  • 単射・全射・全単射の関係：バイジェクション（全単射）は同時に単射と全射であり、逆写像が一意に存在する。

例

  • 実数から正の実数への指数写像 exp: ℝ → (0, ∞) は全射である（任意の y > 0 に対し x = ln y が存在）。
  • 床関数 floor: ℝ → ℤ は全射である（任意の整数 n に対して n = floor(n)）。
  • 写像 f: ℤ → ℤ, f(n) = 2n は全射ではない（奇数は像とならない）。
  • 集合 A = {1,2,3}, B = {a,b} に対する写像で f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b とすれば f は全射（両要素 a,b に像がある）。

関連概念と注意点

  • インジェクション（単射）: 異なる元を異なる像に写す写像（a1 ≠ a2 ⇒ f(a1) ≠ f(a2)）。
  • バイジェクション（全単射）: 同時に単射かつ全射である写像。全単射は逆写像を持つ。
  • 選択公理: 任意の全射が右逆を持つことを一般に示すには選択公理が必要になる場合がある。可算や具体的な集合では個別に右逆を構成できることが多い。
  • 表記の慣習: 「onto」や「surjective」を日本語で「全射」と訳す。矢印の上に二重矢印などで表すこともある。
  • 写像の分類は代数学、位相空間論、集合論など多くの分野で基本的な役割を果たす。全射は像が共領域全体を覆う点で特に重要で、商集合や像の同型を考える際にしばしば用いられる。

以上が全射（サージェクティブ関数）の定義と主な性質・例です。詳しい証明や応用（例えば全射を用いた同型定理や商集合の構成など）について知りたい場合は、目的に応じてさらに具体的な例や演習問題を挙げて説明できます。