全射（サージェクティブ関数）とは — 定義・性質・例・関連概念

全射（サージェクティブ関数）の定義・性質・具体例・関連概念を図解と例題でわかりやすく解説。数学の基礎から応用まで学べる入門ガイド。

著者: Leandro Alegsa

数学の分野で、全射（サージェクティブ関数）とは、次の性質を満たす 関数 f : A → B のことを言います。つまり、共領域（コドメイン）である 共領域 B の任意の要素 b に対して、定義域（ドメイン） 領域 A の中に少なくともひとつの元 a が存在して f(a) = b となる、という条件です。これは言い換えれば、f の 範囲（像, image）と共領域が一致することを意味します。

英語では "surjective" や "onto" と呼ばれ、集合論や写像論で重要な概念です。用語としての サージェクション、インジェクション（単射）、バイジェクション（全単射）は、ニコラス・ブルバキを名乗る数学者グループが導入しました。1930年代に彼らは現代数学の基礎を整理する一連の著作を発表しました。フランス語の接頭辞 sur は「上に」「に向かって」などの意味を持ち、写像が定義域から共領域全体を「写す（onto）」ことを表しています。

定義（形式的）

関数 f: A → B は次を満たすとき全射である：

∀b ∈ B，∃a ∈ A こうして f(a) = b が成り立つ。

別の表現としては、像 f(A) = B が成り立つこと、または記法で f: A ↠ B と表すことがあります。

主な性質

  • 像と共領域の一致：全射 ⇔ f(A) = B。
  • 合成について：もし f: A → B と g: B → C があり、両方全射なら合成 g ∘ f も全射である。逆に、g ∘ f が全射であるならば g は全射だが、f が全射であるとは限らない。
  • 逆写像（右逆）：全射であれば右逆写像 r: B → A（つまり f ∘ r = id_B）を持つことが望まれる。任意の集合に対して常に右逆を構成できるかどうかは選択公理に依存するが、具体的に選べる場合は右逆が存在する。
  • 有限集合の場合の個数関係：A, B が有限集合ならば、全射が存在するための必要条件は |A| ≥ |B| であり、|A| = |B| のとき全射は同時に単射（つまり全単射）である。
  • 濃度と全射：無限集合では全射や単射を使って集合の大きさ（濃度）を比較する。例えば集合 A から B への全射が存在することは「|B| ≤ |A|」を意味する。
  • 単射・全射・全単射の関係：バイジェクション（全単射）は同時に単射と全射であり、逆写像が一意に存在する。

例

  • 実数から正の実数への指数写像 exp: ℝ → (0, ∞) は全射である（任意の y > 0 に対し x = ln y が存在）。
  • 床関数 floor: ℝ → ℤ は全射である（任意の整数 n に対して n = floor(n)）。
  • 写像 f: ℤ → ℤ, f(n) = 2n は全射ではない（奇数は像とならない）。
  • 集合 A = {1,2,3}, B = {a,b} に対する写像で f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b とすれば f は全射（両要素 a,b に像がある）。

関連概念と注意点

  • インジェクション（単射）: 異なる元を異なる像に写す写像（a1 ≠ a2 ⇒ f(a1) ≠ f(a2)）。
  • バイジェクション（全単射）: 同時に単射かつ全射である写像。全単射は逆写像を持つ。
  • 選択公理: 任意の全射が右逆を持つことを一般に示すには選択公理が必要になる場合がある。可算や具体的な集合では個別に右逆を構成できることが多い。
  • 表記の慣習: 「onto」や「surjective」を日本語で「全射」と訳す。矢印の上に二重矢印などで表すこともある。
  • 写像の分類は代数学、位相空間論、集合論など多くの分野で基本的な役割を果たす。全射は像が共領域全体を覆う点で特に重要で、商集合や像の同型を考える際にしばしば用いられる。

以上が全射（サージェクティブ関数）の定義と主な性質・例です。詳しい証明や応用（例えば全射を用いた同型定理や商集合の構成など）について知りたい場合は、目的に応じてさらに具体的な例や演習問題を挙げて説明できます。

基本特性

正式には

f :A → B {\\rightarrow B} が射影関数で{\displaystyle f:A\rightarrow B}あるのは、 ∀ b∈B ∃ a∈A {\\\ in B\\, ˶ˆ꒳ˆ˵ A} が f ( a ) = b となる{\displaystyle \forall b\in B\,\,\exists a\in A}場合である。{a (b)=b\,...} {\displaystyle f(a)=b\,.}

要素b{displaystyle b}{\displaystyle b}は要素a{displaystyle a}aのイメージと呼ばれる。

  • 正式な定義では共領域Bのすべての要素は、領域Aの少なくとも1つの要素のイメージである。

要素 a {displaystyle a}a を要素 b {displaystyle b}{\displaystyle b} の前画像という。

  • 正式な定義では共同領域Bのすべての要素は、領域Aに少なくとも1つの前置像を持つ。

プリ画像は一意である必要はありません。上の図では、{X}と{Y}はどちらも要素{1}の前置像です。重要なのは、少なくとも1つの前置像があることです。(参照：射影式関数、双射式関数）

例

初等関数

f(x):ℝ→ℝを実数値の引数xの実数値の関数y=f(x)とする。 (これは入力も出力も数字であることを意味する)。

  • グラフィックの意味関数fは、すべての水平線がfのグラフと少なくとも1点で交差する場合、surjectionである。
  • 分析的な意味。関数fは、すべての実数yに対してo、yo=f(xo)となるoような少なくとも1つの実数xを見つけることができる場合、surjectionである。

与えられたyに対するo前置画像xを見つけることoは、どちらの質問にも相当します。

  • f(x)-y=o0という方程式には解があるのか？
  • 関数f(x)-yoには根があるか？

数学では、1次、2次（および3次）の多項式についてのみ、正確な（解析的な）根を求めることができる。それ以外の関数の根は近似的に（数値的に）求めることができる。つまり，直接，公式に射影性を証明することはほとんどありません．ですから、以下の議論は非公式なものです。

例斜線の一次関数はonelです。つまり、y=ax+bでa≠0はsurjectionです。(射出でもあるので、バイジェクションでもあります)。

証明します。yを関数oに代入してxを解くと、a≠0なのでx=(yo-b)/となりますa。これは、xo=(yo-b)/aがyの前置像であるoことを意味します。これにより、関数y=ax+b (a≠0)が写像であることが証明されます。(前置像はちょうど1つなので、この関数は射出でもあります)。

実例：y= -2x+4。y=2の前置像は何か。解答です。ここではa=-2、つまりa≠0となり、問題となります。どのようなxに対してy=2なのか？y=2を関数に代入します。すると、x=1、つまりy(1)=2となります。つまり、答えは「x=1はy=2の前置鏡像である」ということになります。

例三次多項式（3次）f(x)=x3-3xはsurjectionである。

議論する。三次方程式x-3x-y3o=0は実数の係数(a=31, a2=0, a1=-3, a0=-yo)を持ちます。このような三次方程式はすべて少なくとも一つの実根を持つ。多項式のドメインはℝであるから、therはドメイン内に少なくとも一つの前置像xがあるということになるo。つまり、(x0)-33x0o-y=0であるから、この関数はサージョンである。(ただし、この関数は注入ではない。例えば、yo=2にはx=-1とx=2の2つの前置像があります。実際、すべてのy, -2≦y≦2は少なくとも2つの前置画像を持っています)。

例二次関数f(x)=x2は、サージョンではありません。x 2= -1となるxは存在しない。x²の範囲は[0,+∞]、つまり非負の数の集合です。(また、この関数は注入ではありません。)

注：非射影関数を射影関数にするには、その共領域をその範囲の要素に限定することで可能である。例えば、新しい関数fN(x):ℝ → [0,+∞)でfN(x)=x2は射影関数となる。(これは領域を制限する関数の制限とは違います！)

例指数関数f(x)=10xは、サージョンではありません。の範囲は10x(0,+∞)、つまり、正の数の集合である。(この関数は射出である)。

サージャリー。 f(x):ℝ→ℝ(と射出)

サージェクション. f(x):ℝ→ℝ(射出ではない)

サージャクションではない。 f(x):ℝ→ℝ(射出でもない)

サージョンではない。 f(x):ℝ→ℝ(ただし、インジェクションである)

Surjection.f(x)：(0,+∞)→ℝ(と射出)

Surjection.z:ℝ²→ℝ、z=yとなる。(絵を見ると、z=2の前置像は直線y=2であることがわかる)

実数関数の他の例

例f(x)=log(x)またはy=10log(x)で定義される対数関数基底10 f(x):(0,+∞)→ℝはsurjection(射出)である。(これは10xの逆関数である）。

  • 直積A×Bをその因子の1つに射影することをsurjectionといいます。

例題です。z=yで定義される関数f((x,y)):ℝ²→ℝはサージュクションである。そのグラフは3次元空間の平面である。zの前置像oは0xy平面上の直線y=zoである。

  • 3Dゲームでは、2次元の画面に3次元の空間をサージェクションで投影します。

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質問と回答

Q:数学における射影関数とは何ですか?


A: 数学における超射影関数とは、共領域Bのすべての要素bに対して、f(a)=bとなるような少なくとも1つの要素aが領域Aに存在するという性質を持つ関数f: A → Bのことです。

Q: 数学における超対称関数の意味は何ですか?


A: 超積分関数は，共領域に写像されない要素がなく， fの範囲と共領域が同じ集合であることを保証します．

Q: surjectionの語源は何ですか?


A: サージャクションという用語はニコラス・ブルバキという数学者グループによって導入されました。

Q: surjective のフランス語の接頭辞 sur の意味は?


A: フランス語の接頭辞 sur は「上に」という意味です。

Q: なぜsurjectiveという言葉がこの種の関数に使われたのですか?


A: surjectiveという用語がこの種の関数に選ばれたのは，surjective関数はそのドメインをそのコドメインに写像するからです．

Q: 1930年代に現代の先端数学に関する一連の本を出版したのは誰ですか?


A: ニコラス・ブルバキと呼ばれる数学者グループが、1930年代に現代の先端数学に関する一連の本を出版しました。

Q: 数学における射影と両射影とは何ですか?


A: 射出と両射出は、数学におけるサージャクションに関連する用語です。射影関数は、領域内の2つの要素が共領域内の同じ要素に写らないことを保証します。双射関数は射影と射出の両方です。


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