全射

基本特性

正式には

f :A → B {\\rightarrow B} が射影関数であるのは、 ∀ b∈B ∃ a∈A {\\\ in B\\, ˶ˆ꒳ˆ˵ A} が f ( a ) = b となる場合である。{a (b)=b\,...}

要素b{displaystyle b}は要素a{displaystyle a}のイメージと呼ばれる。

• 正式な定義では共領域Bのすべての要素は、領域Aの少なくとも1つの要素のイメージである。

要素 a {displaystyle a} を要素 b {displaystyle b} の前画像という。

• 正式な定義では共同領域Bのすべての要素は、領域Aに少なくとも1つの前置像を持つ。

プリ画像は一意である必要はありません。上の図では、{X}と{Y}はどちらも要素{1}の前置像です。重要なのは、少なくとも1つの前置像があることです。(参照：射影式関数、双射式関数）

例

初等関数

f(x):ℝ→ℝを実数値の引数xの実数値の関数y=f(x)とする。 (これは入力も出力も数字であることを意味する)。

• グラフィックの意味関数fは、すべての水平線がfのグラフと少なくとも1点で交差する場合、surjectionである。
• 分析的な意味。関数fは、すべての実数yに対して_o、y_o=f(x_o)となる_oような少なくとも1つの実数xを見つけることができる場合、surjectionである。

例斜線の一次関数はonelです。つまり、y=ax+bでa≠0はsurjectionです。(射出でもあるので、バイジェクションでもあります)。

証明します。yを関数_oに代入してxを解くと、a≠0なのでx=(y_o-b)/となります_a。これは、x_o=(y_o-b)/_aがyの前置像である_oことを意味します。これにより、関数y=ax+b (a≠0)が写像であることが証明されます。(前置像はちょうど1つなので、この関数は射出でもあります)。

実例：y= -2x+4。y=2の前置像は何か。解答です。ここではa=-2、つまりa≠0となり、問題となります。どのようなxに対してy=2なのか？y=2を関数に代入します。すると、x=1、つまりy(1)=2となります。つまり、答えは「x=1はy=2の前置鏡像である」ということになります。

例三次多項式（3次）f(x)=x³-3xはsurjectionである。

議論する。三次方程式x-3x-y³_o=0は実数の係数(a=₃1, a₂=0, a₁=-3, a₀=-y_o)を持ちます。このような三次方程式はすべて少なくとも一つの実根を持つ。多項式のドメインはℝであるから、therはドメイン内に少なくとも一つの前置像xがあるということになる_o。つまり、(x₀)-³3x_0o-y=0であるから、この関数はサージョンである。(ただし、この関数は注入ではない。例えば、y_o=2にはx=-1とx=2の2つの前置像があります。実際、すべてのy, -2≦y≦2は少なくとも2つの前置画像を持っています)。

例二次関数f(x)=x²は、サージョンではありません。x ²= -1となるxは存在しない。x²の範囲は[0,+∞]、つまり非負の数の集合です。(また、この関数は注入ではありません。)

注：非射影関数を射影関数にするには、その共領域をその範囲の要素に限定することで可能である。例えば、新しい関数f_N(x):ℝ → [0,+∞)でf_N(x)=x²は射影関数となる。(これは領域を制限する関数の制限とは違います！)

例指数関数f(x)=10^xは、サージョンではありません。の範囲は10^x(0,+∞)、つまり、正の数の集合である。(この関数は射出である)。

実数関数の他の例

例f(x)=log(x)またはy=₁₀log(x)で定義される対数関数基底10 f(x):(0,+∞)→ℝはsurjection(射出)である。(これは10^xの逆関数である）。

• 直積A×Bをその因子の1つに射影することをsurjectionといいます。

例題です。z=yで定義される関数f((x,y)):ℝ²→ℝはサージュクションである。そのグラフは3次元空間の平面である。zの前置像_oは0xy平面上の直線y=z_oである。

• 3Dゲームでは、2次元の画面に3次元の空間をサージェクションで投影します。

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