ビーン・マシン（ゴルトン盤／クインカンクス）：確率分布を示す装置

構造と挙動

典型的な装置は、ずらして並べた複数列のペグを備える平板と、底部に等間隔で設けられた回収区画から成る。球がペグに当たると、通常は左または右に逸れるという二つの主な結果があり、これは独立試行の列における一段階として扱える。段の数は、落下する球が経験する二者択一の回数を決定し、受け箱の水平位置は右方向への偏向の合計回数に対応する。

数学的原理

各段を通る経路の選択は、左・右への移動の組合せに対応する。各偏向が等しい確率で起きる場合、各受け箱に到達する球の個数は二項分布に従う。ペグの配置にパスカルの三角形を重ねると、この関係が視覚的に分かる。三角形の各項は、それぞれの到達位置へ至る異なる経路の数を数え上げている。段数が増えるにつれて、中心極限定理により二項分布は正規分布に近づくため、集まった球は釣鐘形の曲線を描く。

起源と用語

この装置は19世紀後半、誤差の法則と統計的規則性を教えるための模型としてサー・フランシス・ゴルトンが広めたものであり、彼の研究に関する同時代の記録には歴史的な記述や実演が見られる。クインカンクスという名称は、歴史的に園芸や装飾に用いられた五点配置を指す。一方、ゴルトンによる提示は、この物理装置を遺伝、変異、平均への回帰という主題と結び付けた。歴史的背景については、サー・フランシス・ゴルトンおよび原型のゴルトン・マシンの記述を参照。

用途、変種と限界

ビーン・マシンは、確率、二項係数、中心極限定理を教えるため、教室や博物館で広く利用されている。傾けた盤、不均一なペグ間隔、偏りのあるペグなどの変種は、歪んだ分布やその他の離散分布をモデル化するために用いられる。摩擦、ペグ間隔に対する球の大きさ、球同士の衝突、空気抵抗といった物理的影響は理想的な数学モデルからのずれを生じさせる。そのため実物の装置は、厳密な証明ではなく説明のためのものとなる。正規分布とパスカルの三角形に関する例や追加資料は多くの初等統計学の教科書に掲載されている。正規分布およびパスカルの三角形も参照。

大型で稼働するゴルトン盤は科学博物館にも設置されており、特にボストン科学博物館には著名な展示がある。これらは教育展示であるとともに、偶然から秩序が生まれ得ることを印象的に示す実演でもある。