トリアコンタディゴン（32角形）

主な性質

正トリアコンタディゴンには、次のような基本的な幾何学的量と特徴がある。

• 内角：各内角は (n-2)・180°/n に等しい。n=32では、各内角は168.75°である。
• 外角：360°/32 = 11.25°。
• 対角線：32角形の対角線の本数は n(n-3)/2 であり、n=32では464本となる。
• 対称性：正32角形は位数64の二面体対称性 D32 をもち、32の回転と32の反射から成る。
• 座標と面積：外接円上の頂点は、k=0..31 に対して (cos(2πk/32), sin(2πk/32)) に位置する。正n角形の面積は、辺長をsとすると A = (n/4)s2 cot(π/n) と表せる。

作図可能性と星形

32は2の冪であるため、正トリアコンタディゴンは定規とコンパスで作図可能である。作図可能な多角形から角の二等分を繰り返すことで得られる。32個の頂点に基づく正星形多角形も存在し、正星形は {32/k} の形をとる。kが奇数で3から15までの場合には、自明でない単一巡回の星形となる。例として {32/3}、{32/5}、{32/7} などがある。

歴史・名称・用途

多角形の名称は、古典ギリシャ語の数詞接頭辞と接尾辞 -gon に由来する。数学や工学の実務では、「32角形」という簡潔な呼称が一般的である。正32角形は、円を多角形で近似する設計や計算に用いられ、コンピュータグラフィックス、機械加工、タイル張りのパターンなどに現れる。辺の数が多いため、単純な直線辺の図形でありながら、見た目には円に近い形となる。

注目すべき事実と区別

辺の少ない多角形と比べると、トリアコンタディゴンは角度の刻みを小さくし、外角は11.25°となる一方、対角線の本数は464本へと大きく増える。作図や中心からの二等辺三角形への分割が容易な多角形の一つであり、対称性や多角形の面積公式を示す教材として有用である。多角形に関する一般的な背景については、32辺の多角形に関する資料を参照。