ブラウン橋：定義、性質、応用

定義と基本公式

標準的な区間 [0,1] 上で、Wt を標準ブラウン運動とする。時刻1で0に固定されたブラウン橋 Bt は、Bt = Wt − tW1 と書ける。これは平均0のガウス過程であり、その共分散は次のとおりである。

• Cov(Bs,Bt) = min(s,t) − st、s,t ∈ [0,1]
• Var(Bt) = t(1−t)。これは端点0および1で0となる。

これらの恒等式により、橋のすべての有限次元分布が定まる。

性質と表現

ブラウン橋は連続的でガウス的であり、時間不均質である。分散が時刻に依存するため定常過程ではないが、時間不均質なマルコフ過程ではある。有用な構成法としては、終端値を条件としてブラウン運動を条件付ける方法、運動から線形補正を差し引いて表す方法、および独立な正規係数を持つ直交正弦関数の無限和として橋を表すカールーネン＝レーヴェ展開がある。

歴史と理論上の役割

ブラウン橋は極限定理に自然に現れる。経験過程論では、適切に尺度変換された累積和過程がブラウン橋へ収束する（ドンスカーの定理）。この結果は、コルモゴロフ＝スミルノフ検定などの適合度統計量の分布理論を支えている。拡散理論における「固定された」拡散または「条件付けられた」拡散という語も、端点を固定する同じ考え方を指す。

応用と例

実用上の用途には、(1) モンテカルロ・アルゴリズムで境界条件を満たす経路を標本抽出すること、(2) 統計学において累積経験分布の偏差をモデル化すること、(3) 終点が強制される金融・物理モデルで橋型過程を構成することが含まれる。また、条件付き到達確率の計算や、経路依存型シミュレーションにおける分散削減にも用いられる。

区別と注目すべき事実

ブラウン運動と異なり、ブラウン橋はあらかじめ定められた終点に戻り、その時刻で分散は0となる。一般化としては、任意の二つの端点を結ぶ橋や、他のマルコフ過程の橋がある。上記の恒等式についての技術的背景や証明は、ガウス過程および確率微積分の標準的な文献で扱われている。

より広い文脈については、確率過程およびブラウン運動の基本的な解説も参照。