重心（バリセンター）：定義、計算方法、応用

定義と基本的な式

位置ベクトル r_i にある離散的な点質量 m_i からなる系では、重心 r_cm は r_cm = (Σ m_i r_i) / M で与えられる。ここで、M = Σ m_i は全質量である。質量密度 rho(r) をもつ連続体では、重心は r_cm = (1/M) ∫ r rho(r) dV となり、物体の体積にわたって積分する。これらの式は、選択した任意の座標系で適用できる。結果は、各質量要素に割り当てた位置に依存する。

特徴と物理的性質

重心にはいくつかの有用な性質がある。外力の合力が働かない孤立系では、重心は一定速度で運動する。これは線形運動量保存によるものである。重心を通って作用する外力は、回転を生じさせず、並進運動だけを生じさせる。反対に、重心を通る方向と一致しない力はトルクを生み、系の回転を変化させることがある。

特殊な場合と例

• 剛体：重心は物体に対して固定されており、物体が並進するとともに移動する。
• 物体の集合：重心は空の空間内に位置することがある。よく知られた例は太陽系であり、惑星の公転に伴い、そのバリセンターが太陽表面の外側に位置する場合がある（惑星系のバリセンターを参照）。
• 二体問題：二つの質量を結ぶ直線上に重心があり、両者の距離を質量に反比例する比で分ける点となる。
• 日常の力学：支点の上で板をつり合わせることや、スーパーマーケットのカートを押すことは、重心を通して押すと直線的な並進が生じ、中心から外れた位置を押すと回転が生じることを示している。

重力中心との関係と実用上の区別

重力中心は、所定の重力場において、物体に作用する重力の合トルクがゼロとなる点である。一様な重力場では、重力中心は重心と一致する。一方、非一様な重力場、特に空間的に大きな広がりをもつ場合、たとえば重力が変化する範囲にまたがる高層構造物では、両者は異なりうる。地球上の日常的な工学および物理学の問題では、通常、両者を同一とみなして差し支えない。

歴史、用語、応用

バリセンターという語は、ギリシア語で「重い」または「重量」を意味する bary- に由来し、天体の相互軌道を説明する天文学でよく使われる。重心の理解は、軌道力学、宇宙機のランデブー、車両の安定性、ロボティクス、バイオメカニクスにおける人体の平衡と歩行、構造設計の基礎となる。実際の計算は、単純な授業実験から、不規則な形状や複合形状に対する数値積分まで幅広い。

背景知識と計算例については、初等力学の教科書および関連資料を参照できる。基礎力学、連続体のための数値積分法、惑星力学とバリセンター、軌道摂動と運動、カートやてこを用いる教室での実演（つり合いの例）、および応用工学の手引き（設計の参考資料）がある。