連続体仮説とは？定義と歴史、ゲーデル・コーエンによる独立性

連続体仮説の定義と歴史、ゲーデル・コーエンが示した独立性と証明不可能性をわかりやすく解説。数学史と現代的意義も網羅。

連続体仮説とは、「自然数よりも大きく、実数よりも小さい集合は存在しない」という仮説である。カントールは1877年にこの仮説を発表した。

定義と基本概念

集合の大きさを表す「カーディナリティ（濃度）」について考えます。自然数全体の集合の濃度は最も小さい無限濃度であり、しばしば ℵ0（アレフ・ゼロ） と表されます。一方で、実数全体の集合の濃度はこれより大きく、しばしば 連続体（continuum） と呼ばれ、記号では c または 2^{ℵ0} と表されます。

カントールは対角線論法などで実数が可算（自然数と一対一対応できる）ではないことを示し、実数集合のカーディナリティが ℵ0 より大きいことを確定しました。連続体仮説はこれより進んだ主張で、「実数の濃度 c は ℵ0 の次に小さい濃度、すなわち ℵ1 に等しい（2^{ℵ0} = ℵ1）ため、ℵ0 と c の間に中間的な濃度は存在しない」という形式的な表現で与えられます。

一般的な証明としてのカントールの定理は任意の集合 X に対して部分集合全体の集合 P(X) の濃度が X の濃度より常に大きい（|P(X)| > |X|）ことを示します。これにより、自然数集合 N の冪集合の濃度が実数の濃度に対応すること、つまり c = 2^{ℵ0} であることが分かります。

歴史と独立性（ゲーデルとコーエン）

連続体仮説は、デビッド・ヒルベルトが1900年に提示した23の問題の第1問に含まれる重要問題でした。20世紀半ば、数学基礎論における大きな進展として、カート・ゲーデルとポール・コーエンの業績が挙げられます。

ゲーデルは1938年に構成的宇宙（constructible universe, L）を導入し、その結果を1940年に発表しました。彼はツェルメロ・フラエンケル集合論（ZF、通常は選択公理ACを加えたZFC）の下で、もしZFCが矛盾しないならばZFCは連続体仮説（および一般化連続体仮説 GCH）を否定できない、つまりCHの否定はZFCから導けないことを示しました。言い換えれば、ZFCが矛盾しなければ ZFC+CH は整合的である可能性がある、という結果です（ゲーデルは V = L を仮定するとCHが成り立つことも示しました）。

その後、ポール・コーエンは1960年代初頭に強制法（forcing）という新しい手法を開発し、1963年に「連続体仮説がZFCから証明できない」こと、すなわちZFCからCHを導くことはできないことを証明しました。ゲーデルの結果と合わせて、CHはZFCに対して独立である（ZFCが矛盾しない限り、ZFCはCHもその否定も導かない）ことが確定しました。コーエンの功績により彼は後にフィールズ賞を受賞しています。

現在の立場と研究の方向性

以上の結果により、標準的な公理系 ZFC のもとでは連続体仮説は決着がつかない命題です。したがって連続体仮説を「真」「偽」のどちらかに決めるには、ZFC に代わる追加公理を採用する必要があります。採用する追加公理の選択によって、2^{ℵ0} が ℵ1 になることもあれば、ℵ2（あるいはさらに大きなアレフ数）になることもあり得ます。

現代の研究は次のような方向に進んでいます。

• 内モデル論と大きな基数公理に基づく研究：どのような自然な追加公理が良い正当化を持ち得るかを検討する。
• 強制法やフォーシング・アクシオム（例：PFA）を用いた実現可能性の調査：いくつかの強制的公理は連続体をℵ2に固定するなどの帰結を持つ。
• ウッディンらによるΩ論理や決定性公理を用いたアプローチ：CHに対する決定可能性を得ようとする試み。

結論として、連続体仮説は集合論と数学基礎論における中心的な問題であり、「ZFCだけでは決められない」という性質自体が深い示唆を与えています。数学者の間では、どの追加公理を採用すべきか、あるいは公理系を拡張することが合理的かどうかを巡って現在も活発な議論と研究が続いています。

質問と回答

Q:連続体仮説とは何ですか?

Q:連続体仮説は誰がいつ発表したのか?

Q:自然数は無限に存在するのか?

Q:自然数の集合のカージナルティは何ですか?

Q:自然数より実数の方が多いのですか?

Q:ツェルメロ-フレンケル集合論を使って連続体仮説を反証できるか?

Q:ツェルメロ-フレンケル集合論が連続体仮説の証明に使えないことを示したのは誰?

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