連続体仮説
連続体仮説とは、「自然数よりも大きく、実数よりも小さい集合は存在しない」という仮説である。カントールは1877年にこの仮説を発表した。
自然数は無限にあり、自然数の集合のカーディナリティは無限である。これは実数の集合にも当てはまりますが、実数の方が自然数よりも多く存在します。自然数のカーディナリティは無限で、実数のカーディナリティも無限であると言いますが、実数のカーディナリティは自然数のカーディナリティよりも大きいです。
この仮説は、デビッド・ヒルベルトが1900年に発表した23の問題リストの最初の問題です。カート・ゲーデルは、1939年にツェルメロ・フラエンケル集合論を用いて、この仮説が反証できないことを示しました。ツェルメロ・フラエンケル集合論は、数学で一般的に使われている集合論です。ポール・コーエンは1960年代に、連続体仮説の証明にもツェルメロ・フラエンケル集合論が使えないことを示しました。この功績により、ポール・コーエンはフィールズ賞を受賞した。
質問と回答
Q:連続体仮説とは何ですか?
A:連続体仮説とは、「自然数より大きく、実数より小さい集合は存在しない」という仮説である。
Q:連続体仮説は誰がいつ発表したのか?
A:ゲオルク・カントールが1877年に連続体仮説を発表しました。
Q:自然数は無限に存在するのか?
A:はい、無限に存在します。
Q:自然数の集合のカージナルティは何ですか?
A:自然数の集合の基数は無限である。
Q:自然数より実数の方が多いのですか?
A: はい、自然数より実数の方が多いです。
Q:ツェルメロ-フレンケル集合論を使って連続体仮説を反証できるか?
A:クルト・ゲーデルは1939年に、ツェルメロ-フレンケル集合論を用いても仮説が反証されないことを示した。
Q:ツェルメロ-フレンケル集合論が連続体仮説の証明に使えないことを示したのは誰?
A: ポール・コーエンは1960年代に、ツェルメロ-フレンケル集合論が連続体仮説の証明に使えないことを示しました。
