回転（ベクトル演算子）

計算と基本性質

直交座標では、場の回転は各成分の偏微分から計算される。記号的には、微分演算子 ∇ と場との形式的な外積を用いることが多い。この演算は線形であり、他の微分演算子と同様の積の法則に従う。基本的な恒等式として、勾配の回転は常にゼロであること、また回転の発散は常にゼロであることがよく用いられる。これらの恒等式は、より深い可積分性と保存の性質を反映している。

物理的意味と例

流体力学では、速度場の回転は渦度と呼ばれる。これは局所的な回転運動を示し、小さな剛体回転の場合には角速度ベクトルの2倍に等しい。電磁気学では、回転はマクスウェル方程式に直接現れる。磁場の変化は循環する電場を誘起し、定常電流は循環する磁場を生じさせる。工学では、回転流、境界層、空間内のベクトル値場の挙動を解析するために回転が利用される。

数学的背景と歴史

現代的な回転の概念は、ベクトル解析と古典場の理論が発展した19世紀に形作られた。その定式化に関わった人物として、ストークス、マクスウェル、ギブス、ヘヴィサイドが挙げられる。数学的には、三次元の回転には類似概念や一般化がある。微分幾何学では、外微分とホッジ星作用素を含む微分形式上の演算に対応し、高次元では循環に似た挙動を捉える種々の一般化された概念が用いられる。

用途、定理、重要な事実

回転と積分を結び付ける最も重要な結果の一つがストークスの定理である。閉曲線に沿うベクトル場の循環は、その曲線を境界とする任意の曲面上での回転の面積分に等しい。この定理は局所的な回転の概念を大域的な線積分と結び付け、多くの保存則の基礎となる。二次元では、平面に垂直な軸のまわりの回転を表すため、回転のスカラー類似物がしばしば用いられる。

数学的な定義と座標による公式については、ベクトル解析の文献、ベクトル場の解説、または三次元ユークリッド空間の入門書を参照できる。関連する演算子の背景は、勾配演算子および外積を参照のこと。