ド・モアブルの公式：定式化、形態、歴史、応用

定式化と同値な形

この公式は通常、同値な二つの形で書かれる。三角関数形は、整数 n と実数 x に対して有効な (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) である。複素数 z を極形式 z = r(cos θ + i sin θ)、またはより簡潔に r eiθ と表すと、公式は整数 n に対して zn = rn(cos(nθ) + i sin(nθ)) と一般化される。これらの表現は、オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ とともにも用いられる。方程式に関する資料、およびアブラーム・ド・モアブルの背景資料も参照。

主な性質と注意点

• r = 1 のとき、極形式は単位円上でのべき乗に帰着する。(eiθ)n = einθ となり、この結果は複素平面における n 回の回転を表している。
• n を負の整数として公式を適用すれば、逆数の表現が得られる。すなわち、z−n = r−n(cos(−nθ) + i sin(−nθ)) である。
• zn = w を解く際、この公式は問題を適切な大きさ r と偏角 θ を求めることに変換する。一般に n 個の異なる複素根が存在すること、すなわち複素数の n 乗根、また w = 1 のときの1の根が明らかになる。
• 形式的な証明には、三角関数の加法定理と組み合わせた代数的帰納法、またはオイラーの恒等式による簡潔な指数関数形が用いられる。実変数 x、整数n、および複素数に関する資料を参照。

歴史と発展

この関係式は、複素数に似た式のべき乗を研究するために三角関数的方法を用いたアブラーム・ド・モアブル（1667年–1754年）にちなむ。その歴史的背景は、代数学、三角法、そして萌芽期にあった複素数論を結び合わせようとした18世紀の試みにある。時代が進むにつれて、この恒等式はオイラーらにより複素指数関数を用いて再解釈・簡略化され、証明や拡張がより明快になった。歴史的注記や伝記については、三角法関連および伝記資料を参照。

証明の概略

代表的な方法は二つある。

1. 数学的帰納法：n = 1 で成立することを確かめ、二項式に似た乗法と cos(a+b)、sin(a+b) の三角関数の和の公式を使って、n から n+1 へ進む。この方法は標準的な三角恒等式を用いる。帰納法および三角恒等式の資料を参照。
2. 指数関数的方法：オイラーの恒等式 eiθ = cos θ + i sin θ を代入する。すると (eiθ)n = einθ であり、実部と虚部を取れば三角関数形が直ちに得られる。

応用と例

ド・モアブルの公式は、多くの分野で実用的な道具となる。

• 二項式を繰り返し展開せずに、複素数のべき乗と根を計算する。
• 多倍角の三角恒等式を導き、cos(nθ) と sin(nθ) を cos θ、sin θ で表す。
• 複素数の相異なる n 個の n 乗根を求め、数論や離散フーリエ解析で重要な1の根を調べる。
• 信号処理、制御理論、ならびに複素平面上のフェーザと回転を用いるあらゆる文脈に現れる。

例えば、(cos 30° + i sin 30°)3 は公式により cos 90° + i sin 90° = i となる。また、1 の立方根は 1、e2πi/3、e4πi/3 である。

拡張と注目すべき事実

古典的には整数指数について述べられるが、この考え方は複素指数関数を通じて非整数のべきにも拡張される。ただし、多価対数に注意が必要である。すなわち、Log z を複素対数とすれば za = ea Log z であり、枝の選択によって複数の値が生じる。この公式は、z を掛ける操作が大きさを r 倍し、角度を θ だけ回転させるという幾何学的作用を際立たせる。また、多項式の因数分解の手法や、三角多項式の明示的な公式の基礎にもなっている。

さらに読むには、初等的な複素解析または三角法の文献と、上記のオンライン資料を参照。数学の概要、方程式、歴史的注記、変数、整数、複素数論、三角法、証明法、恒等式。