偶数：定義、性質、判定法、例と数学・計算機科学での利用
偶数とは2で割り切れる整数である。この記事では、定義、主要な性質、一般的な判定法、例、計算機科学と数学における用途、簡単な歴史的事項を解説する。
偶数とは、余りなく2で割ることができる整数である。記号で表すと、ある整数kが存在して n = 2k と書けるとき、整数nは偶数である。たとえば、16 ÷ 2 = 8 であり、8は整数なので、16は偶数である。
基本的な性質
偶数であることは、整数を分類する偶奇の一方であり、もう一方は奇数である。n = 2k という形から、次の重要な代数的・算術的性質が直接導かれる。
- 加法についての閉性：2つの偶数の和は偶数である。
- 乗法についての閉性：任意の整数と偶数との積は偶数である。
- 偶奇の相互作用：任意の整数に偶数を加えても、その整数の偶奇は変わらない。2つの奇数を加えると偶数になる。
- 合同による見方：整数が偶数であることと、法2で0に合同であること（n ≡ 0 mod 2）は同値である。
画像ギャラリー
1 画像
例と簡単な判定法
代表例には0、2、4、6、8、10、およびそれらの負の数（…、−4、−2）がある。0は 0 = 2・0 と表せるため偶数である。連続する偶数どうしの差は2である。偶数かどうかを調べる簡単な方法には、次のものがある。
- 十進法では、一の位が0、2、4、6、8のいずれかなら偶数である。
- 二進法では、最下位ビットが0なら偶数である。
- 代数的には、n/2 が整数かどうかを確認する。
用途と意義
偶奇は、数学と計算機科学の広い分野で用いられる基本的な道具である。偶奇に基づく証明、可能な場合の数を数える組合せ論、ならびに単純な伝送誤りの検出に役立つ偶奇検査（パリティビット）を用いるアルゴリズムに現れる。偶数は式から2を因数として取り出せるため、多くの整除性や対称性に関する議論を簡潔にする。
歴史と関連する考え方
偶数と奇数という概念は古代数学にさかのぼる。初期のギリシャをはじめとする諸文明では、数論および分類の一部として偶奇が研究された。用語や記号は何世紀にもわたり変化してきたが、2で割り切れるという中心的な考え方は変わっていない。偶奇は他の代数的な場にも拡張され、たとえば環の要素を選んだ因子に対して偶と呼ぶことがある。また、合同算術や群論とも結び付いている。
偶数と奇数の区別は、最も基本的な数論的判定の一つであり、多くの初等的な議論の基礎となる。整数と数論についてさらに知るには、関連する入門解説を参照。
関連項目
著者
AlegsaOnline.com 偶数：定義、性質、判定法、例と数学・計算機科学での利用 Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/32748