存在量化子：記法、意味論、論理規則
存在量化子（∃）の記法、形式的意味論と領域への依存性、スコープと束縛、否定との等価関係、具体化・一般化などの証明規則を概説する。
数学および論理学において、存在量化子は、与えられた議論領域の少なくとも一つの要素について、ある論理式が成り立つことを主張する論理演算子である。この量化子には通常、左右反転した大文字Eを表す記号「∃」が用いられ、「存在する」と読む。
記法と簡単な例
存在命題は、たとえば「∃x∈ℕ (x=3+5)」のように書く。これは、3+5に等しい自然数が存在することを表す。より一般には「∃x P(x)」という形の式を書く。ここで述語Pは、領域内の要素に関する性質または関係を表す。この式が真であるのは、領域内の変数xの値のうち少なくとも一つがP(x)を真にするとき、かつそのときに限る。
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形式的意味
- 領域：存在量化された式の真偽は、選択された領域、すなわち議論領域に依存する。領域が空であれば、存在を主張する命題は偽である。
- 真理条件：文「∃x P(x)」が真であるのは、領域内にP(a)が成り立つ要素aが存在するとき、かつそのときに限る。
- 束縛とスコープ：量化子は、そのスコープ内にある変数の出現を束縛する。スコープの外側にある変数は自由変数のままである。
他の論理演算子との関係
存在量化子は、領域のすべての要素について性質が成り立つことを主張する全称量化子と対照をなす。否定と両量化子には標準的な等価関係がある。任意の述語Pについて、存在命題の否定は、Pの否定に関する全称命題と等価である。形式的には「¬∃x P(x)」は「∀x ¬P(x)」と等価である。同様に、「¬∀x P(x)」は「∃x ¬P(x)」と等価である。これらの等価関係は一階述語論理の基礎をなし、証明で頻繁に用いられる。
使用上の注意
- 存在命題を証明するには、具体例を一つ示すか、述語を満たす要素を構成すれば十分である。
- 形式的導出では、存在具体化（証人に新しい名前を導入すること）と存在一般化（特定の例から存在命題を導くこと）が標準的な推論規則である。
- 領域の扱いには注意が必要である。領域を制限する、たとえば「∃x∈S P(x)」と書くことは、Sへの所属を検査する述語とP(x)を併せて導入するための構文上の簡略表現である。
論理学における量化子とその形式的性質については、量化子の記事も参照。
関連項目
著者
AlegsaOnline.com 存在量化子：記法、意味論、論理規則 Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/32932