グンベル分布（I型極値分布）：定義、性質、応用

定義と代表的な公式

標準的なパラメータ化では、グンベル分布は位置パラメータμと正の尺度パラメータβという二つのパラメータをもつ。z = (x − μ)/β とすると、累積分布関数は F(x) = exp(−e^(−z))、確率密度関数は f(x) = (1/β) exp(−z − e^(−z)) である。これらの式では分布は右に歪み、x = μ にただ一つの最頻値をもつ。最小値については、鏡映した形を用いるか、観測値を符号反転してから当てはめることが多い。より広い文脈は、入門的な統計学の資料で確認できる。

主な性質

• 平均：μ + γβ。ここで γ はオイラー＝マスケローニ定数（約0.5772）である。
• 分散：(π^2/6) β^2。したがって、分布の尺度は β に応じて変化する。
• 歪度は一定であり、μ や β には依存しない。尖度も定数である。
• 適切に正規化された、多くの軽い裾をもつ母分布の最大値に対する極限分布である（極値理論）。

起源と関連

この名称は、20世紀初頭に極値理論へ貢献したエミール・J・グンベルに由来する。グンベル族は、フィッシャー＝ティペット＝グネデンコの定理により、多くの独立同分布標本の最大値をアフィン正規化した際の極限法則として自然に現れる。これは一般化極値（GEV）分布において、GEVの形状パラメータがゼロに近づく場合に得られる特別なケースである。古い文献では「二重指数」と呼ばれることもあるが、この語はラプラス分布にも用いられるため、両者は同義ではない。

応用と例

まれではあるが影響の大きい事象をモデル化するため、グンベル分布は水文学（年間洪水ピーク）、気象学（極端な気温や風速）、土木工学（極限荷重に対する設計）、リスク管理で広く使われる。機械学習では、グンベル分布はグンベル最大値トリックの基礎となる。これはシミュレーションや変分近似で有用な、離散分布のための標本抽出法である。実務では通常、最尤法または確率プロットにより μ と β を当てはめる。

推定、シミュレーション、および注目すべき事項

パラメータは最尤法、モーメント法、または極値用の専用プロット手法によって推定できる。グンベル確率変数のシミュレーションは容易である。U が (0,1) 上の一様分布に従うならば、X = μ − β ln(−ln U) はグンベル(μ,β)分布に従う。より高度な解説と参考文献については、関連文献を参照。