ヘクトゴン（百角形）：性質・公式・対称性・作図可能性

基本的な性質

• 辺と頂点：それぞれ100個。
• 内角（正百角形）：(100−2)×180°÷100＝各頂点で176.4°。
• 外角（正百角形）：360°÷100＝3.6°。
• 対角線の本数：n(n−3)÷2＝100×97÷2＝4,850本。
• 周長（正百角形）：100×s。sは一辺の長さ。
• 面積（正百角形）：A＝(100・s²)÷(4・tan(π÷100))。sは一辺の長さ。

正百角形は、しばしばシュレーフリ記号{100}で表される。位数200の二面体対称性D100をもち、100個の回転対称と100個の鏡映対称から成る。不規則な百角形は形状が大きく異なり得るが、辺と頂点がそれぞれ100個であるという定義は満たす。

作図可能性と関連する多角形

定規とコンパスによる古典的な多角形の作図可能性は、辺の数に関する数論に依存する。正100角形は、100＝22・52であり、奇素数因子5が重複しているため、古典的な定規とコンパスだけでは作図できない。作図可能であるためには、辺の数が2の冪と相異なるフェルマー素数の積という条件を満たす必要がある。たとえば正20角形（22・5）は作図可能だが、100に含まれる5の二乗因子が定規とコンパスによる作図を妨げる。

歴史、記法、星形

この名称は、多角形の用語で広く用いられる古典ギリシア語の語根に従っている。凸な正百角形{100}に加え、同じ頂点集合でk個おきの頂点を結ぶことで正星形多角形を作ることができる。これは、適切な整数kに対して{100/k}と表記される。このような星形は、娯楽的な幾何学や、回転対称性が関わる代数的文脈でしばしば研究される。

用途と注目すべき事実

百角形は日常的な建築や敷き詰めでは一般的ではないが、辺の数が増えるほど正多角形が円に近づくという極限を示す数学的な例として用いられる。多数の辺をもつ多角形を円の近似として扱う計算幾何学、グラフィックデザイン、数値実験でも役立つ。正百角形の内角は176.4°であるため、辺の長さを等しくして描くと、その形は非常に円に近い。

多角形の性質や関連分野についてさらに読むには、一般的な多角形の参考文献、または上記のリンク先を参照：定義と基礎。