ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、ユークリッド空間、つまり3次元以上の空間の超次元的な使用をカバーする数学的概念です。ヒルベルト空間は、2次元と3次元の数学を使用して、3次元以上で何が起こるかをしようとすると記述する。ヒルベルト空間の名前はDavid Hilbertにちなんでいます。
ベクトル代数と微積分は、2次元ユークリッド平面と3次元空間で通常使用される方法である。ヒルベルト空間では、これらの方法は、任意の有限次元または無限次元で使用することができます。ヒルベルト空間とは、長さや角度を測定できる内積の構造を持つベクトル空間のことである。ヒルベルト空間はまた、完全でなければならない、つまり微積分が機能するためには十分な限界が存在しなければならないということである。
最も初期のヒルベルト空間は、20世紀の最初の10年間にダビド・ヒルベルト、エルハルト・シュミット、フリジエス・リーゼスによって研究された。ジョン・フォン・ノイマンが最初に「ヒルベルト空間」という名前を思いついた。ヒルベルト空間の方法は、関数解析に大きな違いをもたらした。
ヒルベルト空間は、数学、物理学、工学の分野で、多くの場合、無限次元の関数空間として登場します。偏微分方程式、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝達を含む）の研究に特に有用です。ヒルベルト空間は熱力学の数学的基礎であるエルゴード理論で使用されます。すべての正規ユークリッド空間もヒルベルト空間である。ヒルベルト空間の他の例としては、正方積分可能な関数の空間、数列の空間、一般化された関数からなるソボレフ空間、ホロモルフィック関数のハーディ空間などがある。
ヒルベルト空間は、振動する弦の高調波を研究するために使用することができます。
質問と回答
Q:ヒルベルト空間とは何ですか?
A:ヒルベルト空間とは、2次元と3次元の数学を使って、3次元以上で起こることを記述しようとする数学的概念です。内積構造を持つベクトル空間であり、長さや角度を測ることができ、また微積分が機能するためには完全でなければなりません。
Q:ヒルベルト空間の概念を命名したのは誰ですか?
A:ヒルベルト空間の概念は、20世紀初頭にデヴィッド・ヒルベルト、エルハルト・シュミット、フリゲス・リーシュによって初めて研究されました。ヒルベルト空間」という名称を考え出したのは、ジョン・フォン・ノイマンです。
Q:ヒルベルト空間の応用にはどのようなものがあるか?
A:ヒルベルト空間は、数学、物理学、工学、関数解析、偏微分方程式、量子力学、フーリエ解析（信号処理、熱伝導など）、エルゴード理論（熱力学の数学的基礎）、平方積分可能関数、系列、一般化関数によるソボレフ空間、正則関数のハーディ空間など多くの分野で使用されています。
Q:通常のユークリッド空間はすべてヒルベルト空間とみなされるのでしょうか?
A:はい、通常のユークリッド空間はすべてヒルベルト空間とみなされます。
Q: Hilbert 空間は関数解析にどのような影響を与えたのでしょうか?
A:ヒルベルト空間の利用は、関数解析学に新しい研究手法を提供し、この分野に大きな変化をもたらしました。
Q:Hilbert空間を扱うには、どのような数学の知識が必要なのでしょうか?
A: 通常、2次元ユークリッド平面や3次元空間を扱う場合には、ベクトル代数や微積分を用いますが、ヒルベルト空間を扱う場合には、有限または無限の次元数でこれらの方法を用いることができます。
