六十角形（60辺の多角形）

幾何学と主要な公式

正六十角形の重要な数値的性質には、次のものがある。

• 各内角は (n-2)・180°/n = 174° である。
• 内角の和は (n-2)・180° = 10,440° である。
• 外角、すなわち隣接する頂点間の中心回転の刻みは 6° である。
• 対角線の本数は n(n-3)/2 = 1,710 本である。

辺の長さを s、外接円半径を R とする正60角形の面積公式は、正n角形に対する標準的な公式であり、A = (n s2)/(4 tan(π/n))、または A = (n/2) R2 sin(2π/n) と表される。単位円上の頂点の座標は、k = 0,1,...,59 として複素数 e2πik/60 で表すことができる。

対称性と作図可能性

正六十角形の対称群は位数120の二面体群 D60 であり、60個の回転と60個の反射からなる。60 = 22・3・5 であり、素因数の3と5がフェルマー素数であるため、正60角形は定規とコンパスで作図可能である。したがって、例えば角を順次分割して6°ごとの刻みを得るような、古典的作図の連続によって頂点を作ることができる。

変種と星型多角形

正凸形のほかにも、60と互いに素な整数 k に対して {60/k} と表される星型多角形の形が多数存在する。これらの星型化では、各頂点を円周上で k 番目にある頂点へ結ぶことにより、複雑な星形が生じる。このような星形図形の族は、同一の頂点集合から複数の異なる多角形回路が作られうることを示している。

歴史、名称、用途

多くの辺をもつ多角形は、円の近似、幾何学、作図問題との関連で古代から研究されてきた。特に「hexacont-」という接頭辞は、古典ギリシア語の数詞に由来する。辺数の多い多角形は、幾何学的モデリング、グラフィックデザイン、タイル模様、工学図面における円弧の近似などに実用される。多角形についてのより一般的な背景は、関連資料を参照。

注目すべき事実

外角が正確に6°であるため、正六十角形は円を60等分することと自然に結び付く。この分割は、歴史的な六十進法における60分の1時間や360度の円にも通じている。対角線の数が多く、可能な星型の形も豊富であることから、60角形は多角形の組合せ論と対称性の研究における豊かな例となっている。