距離空間

定義と公理

形式的には、距離空間とは (X,d) という組であり、X は集合、d は 距離関数 d:X×X→実数 で、次の4条件を満たす。平易にいえば、以下のとおりである。

• 非負性: 距離は決して負にならない。
• 識別不可能性の同一性: 距離が0になるのは、2点が同じときに限る。
• 対称性: x から y への距離は、y から x への距離に等しい。
• 三角不等式: 2点間の直接の距離は、第3の点を経由する距離の和を超えない。

典型的な例

この概念を示す代表的な距離には、次のようなものがある。

• 通常のピタゴラスの公式に由来する、R^n 上のユークリッド距離。
• 座標ごとの差の絶対値を足し合わせる、タクシー距離または l1 距離。
• 各座標差の最大値をとる、上限距離または l∞ 距離。
• 異なる点の距離を1、それ以外を0とする離散距離。
• グラフ上の最短路距離で、頂点間の最小辺数または最小重み長に等しい。

構造と帰結

距離は開球を通じて位相を定める。点 x と半径 r>0 に対し、球は距離が r 未満のすべての点からなる。この距離位相は、連続性、収束、コンパクト性といった概念を与え、なじみ深い幾何学空間における考え方とよく対応する。距離空間の重要な性質には、完備性（すべてのコーシー列が収束すること）、可分性（可算稠密部分集合の存在）、全有界性があり、いずれも解析学で広い帰結をもつ。

変種と関連概念

実際には、公理を弱めたり強めたりした有用な概念がいくつか現れる。擬距離では、異なる点どうしの距離が0になってもよい。超距離では、三角不等式を強めて、2辺のうち長いほうが第3辺を支配する形にし、たくさんの正三角形が現れる独特の幾何を生む。半距離や準距離では、対称性の条件を外したり変更したりする。埋め込み問題、すなわち、ある距離空間を距離を近似的に保ちながら別の空間へ写せるかどうかは、幾何学や理論計算機科学で中心的である。

歴史、用途、意義

距離空間という抽象的概念は、解析学と位相の背後にある距離の役割を数学者が切り分けた20世紀初頭に現れた。それ以来、距離の概念は基礎的なものとなり、実解析や関数解析における収束と連続性を支え、幾何学的群論やフラクタル幾何学の言語を与え、さらにデータ解析、クラスタリング、最近傍計算や最短路計算に依存するアルゴリズムなどの応用分野にも現れる。距離は直観的な距離の考えを厳密な公理へと翻訳するため、具体的な幾何学と広い抽象理論を結ぶ橋として機能する。

関連事項と注意

• すべての距離空間は位相空間であるが、すべての位相空間が距離から生じるわけではない。
• 完備性はどの距離を選ぶかに依存する。同じ集合でも、ある距離では完備で、別の距離では完備でないことがある。
• 距離は組み合わせることができる。和、最大値、そしてある種の積分は、同じ台集合上に新しい距離を与えることが多い。