ランダムとは？意味・確率・乱数の数学的定義と実例

数学的定義・確率・乱数の生成方法と実例を初心者向けに図解で解説。コンピュータ乱数と日常の「ランダム」の違いも明快に理解できます。

ランダムとは、結果を確実に予測したり（起こる前に何が起こるかを知るために）、パターンを感知したりする方法がないことを意味するために数学で使われる用語です（正式にはそうではありません）。ランダムに選ばれたものは、意識的な理由で選ばれたものではないので、純粋に偶然であると考えられています。ランダムなイベントの例としては、宝くじに当選したことが挙げられます。

コンピュータは一見乱数のリストを作ることができます。人間にはこれができませんが、これは脳がパターン化して働くからです。誰かが「頭」や「尻尾」をランダムに言い続けるように言われた場合、賢い人間の観察者や適切にプログラムされたコンピュータは、コンピュータがパターンに気づくことで、その人が次にどちらを言いそうかを見分けることができるかもしれません。

英語版ウィキペディアのようなウェブサイトでは、ユーザーは「ランダムページ」をクリックしてランダムな記事を取得することができます。任意のページが表示される確率は、他のページと全く同じです。

時々、"ランダム"という言葉は、より緩く使用されています。ランダムジョークのウェブサイトがありますが、それは単に意味です：あらゆる種類のものについての様々なジョーク。

近年、若い人たちは「ランダム」という言葉を、かなり奇妙なものや論理性のないものを表現するために、よりゆるく使うようになってきました。カビの生えたチーズが逃げている」とか「パイとスパムが好き」というような文章は「ランダム」と表現されるかもしれませんが、これは辞書や数学的には適切な意味ではありません。

数学的定義と関連用語

数学や確率論で「ランダム」と言うときは、通常は確率空間（Ω, F, P）や確率変数という概念を使って厳密に定義されます。簡単に言うと：

• 確率変数：試行の結果（例：コイン投げの表裏、サイコロの出目）に数値を割り当てる関数。
• 確率分布：ある結果がどれくらいの確率で起きるかを記述するもの。離散分布（サイコロ）や連続分布（正規分布）があります。
• 独立性：複数の試行が互いに影響しない場合、「独立」であると言います。独立なランダム変数の組は、組み合わせの確率が積で表せます。
• 一様分布：全ての結果が等しい確率で起こる特別な分布。ランダム選択の最も直感的な例です。

確率と実例

日常的なランダムの例としては、コイン投げ、サイコロ、宝くじの抽選、カードのシャッフルなどがあります。これらはランダム性を想定して設計され、確率計算が可能です。たとえば、公平なサイコロでは1から6までの目が同じ確率（1/6）で出ます。ランダム性が成り立つかどうかは、実験や理論的仮定に依存します。

コンピュータにおける乱数生成

コンピュータで作られる乱数には大きく分けて2種類あります。

• 擬似乱数（PRNG）：決まったアルゴリズムと初期値（シード）から生成される数列。高速で再現可能ですが、理論的には周期があり完全に予測不可能ではありません。多くのシミュレーションやゲームで使われます。
• 真の乱数（TRNG）：物理的現象（熱ノイズ、放射性崩壊など）の観測に基づくもので、理想的には予測不可能です。暗号用途ではTRNGや暗号論的に安全な擬似乱数（CSPRNG）が必要とされます。

コンピュータが「一見乱数のリストを作ることができます」という記述は、ここではPRNGのことを指しており、アルゴリズム的に生成された数列は外見上ランダムでも内部には規則性が存在する可能性があります。

ランダム性の検定と評価

生成された数列が「十分ランダムか」を調べるためにいくつかの統計的検定があります。代表的なもの：

• 頻度（モノビット）検定：0と1の出現比率が等しいかを調べる。
• 連続性検定やシリアル検定：隣接ビットやブロック間の相関を調べる。
• もっと高度なテストスイート：Diehard、NIST SP800-22など、複数の検定を組み合わせて評価する。

これらの検定に合格しても「真にランダムである」と完全に証明できるわけではありませんが、実用上十分かどうかの判断材料になります。

応用例

• シミュレーション（モンテカルロ法など）：確率過程の近似や複雑系の評価。
• 統計学：無作為抽出や検定のためのサンプリング。
• 暗号：鍵生成やnonce、プロトコルでの予測不可能性確保。
• ゲームやエンターテインメント：ランダム要素による公平性や多様性の確保。

人間の直感と日常語としての「ランダム」

人間の脳はパターンを見つけるようにできているため、真にランダムな事象でも規則性を見つけ出そうとします。逆に、人が「ランダムに」見せようとして作る列は、しばしば偏りや規則性を含みます。これは、先に書いた通り「誰かが『頭』や『尻尾』をランダムに言い続ける」実験で明らかになります。

また、日常語としての「ランダム」はかつてより曖昧に使われることが増え、単に「予測不能」や「場にそぐわない奇妙さ」を示す場合があります。しかし、このような使い方と数学的・統計的な意味は区別する必要があります。

まとめと注意点

• 「ランダム」は「予測不能」や「特定のパターンがない」といった意味で使われるが、数学的には確率分布や確率空間で厳密に扱われる。
• コンピュータが作る乱数には擬似乱数と真の乱数があり、用途に応じて選ぶ必要がある。
• 生成されたデータのランダム性は統計検定で評価できるが、完全な保証は難しい。
• 日常語としての「ランダム」はゆるい意味で使われることが多く、数学的意味と混同しないよう注意する。

乱数の作成

プロセスやシステムがランダムに見える方法はいくつかあります。

1. 環境から来るランダム性（例えば、ブラウン運動などがそうですが、ハードウェアの乱数発生器もそうです）。
2. スタート条件から来るランダム性。この側面はカオス理論で研究されています。これは、スタート時の条件の違いに大きく依存するシステムで観察されます。パチンコやサイコロなどがその例です。
3. システム自体が生成するランダム性のこと。これは擬似乱数とも呼ばれ、擬似乱数発生器で使われる種類のものです。擬似乱数を生成するためのアルゴリズム（演算器やセルオートマトンをベースにしたもの）は数多く存在する。このようなシステムの挙動は、乱数種とアルゴリズムが分かれば、予測することができます。これらの方法は、環境から「真の」ランダム性を得るよりも迅速である。

乱数には多くの用途があります。その必要性から、多かれ少なかれランダム（疑似ランダム）なデータを生成する方法が開発されてきました。これらの方法は、どのように予測不可能な（統計的にランダムな）乱数であるか、どのように迅速に乱数を生成することができるかによって異なります。

十分に乱数を大量に生成する計算乱数発生器がある。それ以前は、表は疑似乱数表として公開されていました。

コンピュータが乱数のように見えるものを作る方法は2つあります。

• 乱数を作るためのアルゴリズムには様々なものがあります。これにより、例えば生成された数値の分布など、ランダム性のある側面をモデル化することが可能になります。しかし、このような方法で生成された数値は、常にパターンに従います。そのうちの1つ、またはいくつかが与えられると、コンピュータは次の乱数を計算することができます。そのため、このような数値は疑似乱数と呼ばれています。
• 真の乱数は、非決定論的な実験を観察することで生成される。そして、実験の結果に基づいて数値が計算されます。例としては、コンピュータにガイガーカウンターを接続して、数値を生成することが考えられます。

ルーレット中のボールは始動条件に非常に敏感に反応して挙動を変化させるため、ランダム性の発生源として利用することができる。

質問と回答

Q: ランダムの定義とは何ですか?

Q: 何かが無作為に選ばれるとはどういうことですか?

Q:コンピュータは乱数のリストを作ることができますか?

Q:なぜ人間は乱数表を作ることができないのですか?

Q:ランダムな事象の例とは何ですか?

Q: ランダムに「頭」「尻尾」を言い続けるように指示されたらどうなりますか?

Q:「ランダム」という言葉は、現在、若者の間ではどのように使われているのでしょうか?

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