概要
循環小数（反復小数とも呼ばれる）とは、小数表示のある時点以降で、1桁または複数桁が無限に繰り返される数の表し方です。一般的な記法では、繰り返し部分をバー（横線）で示すか、三点リーダーで表します。たとえば 0.333... と 0.3̅ は、どちらも同じ循環する値を表します。循環小数は有理数から生じ、有限小数や、無理数のような非循環・非終端の展開と対比されます。
定義と特徴
小数が、有限の前半部分のあとに数字のまとまりが無限に反復する場合、その反復するまとまりを循環節（repetend または reptend）と呼び、そのまとまりの桁数を周期の長さといいます。純循環小数は、繰り返しのない先頭部分を持ちません（例: 0.444...）。一方、混循環小数は、繰り返しのない前置部分と、その後ろに続く繰り返し部分の両方を持ちます（例: 0.166 = 0.1666...）。
なぜ循環小数が現れるのか
すべての有理数（2つの整数の比）は、小数展開すると、有限で終わるか、やがて繰り返し始めます。このふるまいは既約分数の分母によって決まり、分母の素因数が 2 と 5 だけなら小数は有限で終わります。そうでなければ、小数は循環します。この関係は初等的な数論の基本事項であり、循環節のさらに詳しい性質は 数論 の概念を用いて調べることができます。
分数への変換と分数からの変換
循環小数を正確な分数に直す方法は、代数的に簡単です。循環節がちょうどそろうように 10 のべき倍をかけ、元の数との差を取って循環部分を消し、最後に未知数を解きます。逆に、有理分数を小数で表すには、分子を分母で割る筆算を行います。手順や計算例の詳細は、変換方法 に関する資料を参照するとよいでしょう。
例と注目すべき事実
- 基本例: 1/3 = 0.333...、1/6 = 0.1666...、2/7 = 0.285714285714... で、循環節 285714 の周期の長さは 6 です。
- 用語: 繰り返すまとまりを循環節と呼び、その長さを周期といいます。
- 10 を割り切らない素数分母については、1/p の周期は p−1 を割ります（これは p を法とする 10 の乗法位数から導かれます）。
小数表示と関連概念の一般的な背景については、小数表記 の入門記事を参照してください。循環小数は、初等算術と合同算術を結びつけるものであり、小数表記、分数、割り切れやすさが交差する標準的な話題です。