逆数（乗法逆元）— 定義、性質、例
0でない数の逆数（乗法逆元）とは、その数を1で割った値です。この記事では、定義、計算規則、例、および代数学や他の体系における一般化を解説します。
0でない数 x の逆数（乗法逆元ともいう）とは、x と掛けると 1 になる数である。初等的な表記では、x の逆数は 1/x または x-1 と書かれる。0 に対しては、どの数を掛けても 1 にはならないため、この演算は定義されない。簡潔な技術的概説については、乗法逆元を参照。
基本的な性質と簡単な例
二つの数が互いに逆数であるのは、その積が 1 に等しい場合に限る。算術でよく用いられる例として、次が挙げられる。
- 2.5 と 0.4 は、2.5 × 0.4 = 1 であるため互いに逆数である。
- -0.2 と -5 は、-0.2 × -5 = 1 であるため互いに逆数である。
- 1 と -1 はそれぞれ自分自身の逆数である。すなわち、1 × 1 = 1、および (-1) × (-1) = 1 である。
分数の逆数を求めるには、分子と分母を入れ替える。a ≠ 0 のとき、a/b の逆数は b/a である。整数は分母が 1 の分数として扱えるので、8 の逆数は 1/8 となる。
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計算規則と代数的表記
逆数に関する基本規則は、算術と代数学全般で用いられる。ある数で割ることは、その数の逆数を掛けることと同じであり、b ≠ 0 のとき a ÷ b = a × (1/b) である。代数式では、x-1 は x の逆数を表す。逆数の操作は符号や有理性と一定の関係をもつ。0でない有理数の逆数は有理数であり、0でない実数の逆数も実数である。0 には逆数がない。
一般化と文脈
乗法逆元という考え方は、通常の数の範囲を超えて拡張される。抽象代数学では、環または体において乗法逆元をもつ元は単元と呼ばれる。正方行列では、行列の反転が似た役割を果たす。可逆行列は行列の乗法について乗法逆元をもつが、その逆行列は各成分の逆数を取ることで得られるものではない。同じ逆元の概念は、複素数、有理関数、その他の代数構造にも現れる。
歴史、用途、重要な事実
逆数は、除法や比例的な考え方に用いられてきた最も早期の算術概念の一つである。現在も、方程式を解くこと、単位を換算すること、式を簡単にすることの基礎であり、導関数や積分に逆数関数がしばしば現れる微積分学でも重要である。覚えておくべき点として、0 に逆数はないこと、逆数は有理数・無理数であるという性質を保つこと（0でない有理数の逆数は有理数であり、0でない無理数の逆数は無理数であること）、そして計算を簡単にするため除法を乗法へ変換する際に逆数が中心的な役割を果たすことが挙げられる。
関連項目
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著者
AlegsaOnline.com 逆数（乗法逆元）— 定義、性質、例 Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/81561