帰謬法：方法、歴史、用途

方法と典型的な形式

基本構造は単純である。証明すべき主張の反対を仮定し、受け入れられた前提と推論規則を用いて帰結を導き、矛盾または不条理な結果を示す。「不条理な」結果は、論理的矛盾、経験的事実への違反、あるいは合意された制約の逸脱でありうる。論理学と数学では、矛盾はしばしばQかつQでないという形の命題であるが、実践的推論では、もっともらしくない含意であることもある。論理学上の概念については、この概要を参照。

歴史と発展

この技法は古くから存在し、広く用いられてきた。古典期の著者たちは哲学的論争においてこれを記述し使用しており、多くの数学的証明の基礎にもなっている。古代ギリシアの幾何学と論理学では、矛盾に基づく証明が体系的に用いられた。中世および近代の思想家たちは、形式体系におけるその利用を洗練し、擁護した。数学における役割については数学史を、哲学における用法については哲学的資料を参照。その起源は、古代の文献で論じられるように、古典古代にまでさかのぼる。

例と典型的な応用

• 数学：反対の有理的関係を仮定して矛盾を導くことにより、無理性や不可能性に関する命題を証明する。
• 哲学：相手の主張が不条理な信念またはパラドックスを含意することを示して、その主張を論駁する。
• 日常的推論：提案された政策や計画が受け入れがたい結果をもたらすことを示し、それを退ける。

重要性と区別

帰謬法は、その一般性と力によって重視される。困難な直接証明を、扱いやすい間接証明へと変えることができるためである。不条理さを修辞的に利用する誤謬的な論証形式とは異なり、有効な帰謬法では、正確な仮定から正しい推論によって不条理を導かなければならない。また、構成的推論をめぐる議論とも関係する。矛盾による証明を自由に認める学派がある一方、他の学派、すなわち構成主義者は、直接的で構成的な証拠を与える証明を好む。

限界と望ましい実践

矛盾が、仮定した否定と受け入れられた前提から正当に導かれることを確かめるには注意が必要である。曖昧な前提、隠れた仮定、否定の誤用は、見せかけの「不条理」を生み出しかねない。しかし慎重に適用されるなら、帰謬法は論理学、数学、批判的論証において、最も信頼性が高く広く用いられている推論技法の一つであり続ける。