正多角形：定義、性質、作図、星形正多角形

主な性質

凸 n 角形の正多角形は円に内接しかつ円に外接する。すなわち、すべての頂点は共通の外接円上にあり、すべての辺は共通の内接円に接する。両円の中心は多角形の中心であり、この点からはすべての頂点およびすべての辺の中点までの距離が等しい。重要な公式と事実には、内角の大きさ、対称性、面積の表式がある。凸正 n 角形の内角は (n−2)・180°/n に等しい。回転対称と鏡映対称は二面体群 Dn をなし、平面上で 2n 個の等長変換を与える。よく用いられる面積公式として、辺長を s とすると A = (1/4) n s2 cot(π/n)、外接円半径を R とすると A = (1/2) n R2 sin(2π/n) がある。

作図と代数的条件

正多角形は定規とコンパスで作図できる場合が多いが、常に可能とは限らない。古典的な結果であるガウス＝ヴァンツェルの定理は、作図可能な正 n 角形を特徴づける。すなわち n は、2k と相異なるフェルマー素数の積との積でなければならない。このことから、適切な因数のもとで n = 3、4、5、15、17、257、65537 の正多角形が定規とコンパスで作図可能である一方、他の多くは作図不可能であることが分かる。厳密な作図が不可能または実用的でない場合には、設計や製図で実用的な幾何作図や数値近似が用いられる。

種類と記法

正多角形はシュレーフリ記号 {n} で表される。星形多角形は {n/k} と表記され、k は頂点を順に結ぶ際のステップを示す。この図形は k>1 かつ gcd(n,k)=1 のとき、正多角形であると同時に自己交差する。凸の場合は正凸多角形、自己交差する場合は正星形多角形と呼ばれることがある。こうした区別は重要である。等辺であっても等角ではない多角形、たとえば菱形は正多角形ではない。また、隣接する辺の長さが異なる等角な長方形も正多角形ではない。

例と応用

身近な正多角形は、芸術、建築、敷き詰め、工学に現れる。正三角形、正方形、正六角形は隙間なく平面を敷き詰められるが、他の正多角形は単独では平面を敷き詰められない。正多角形は、車輪、歯車（正多角形に近似した形状）、装飾文様、そしてその対称性を利用する数学の問題に用いられる。星形多角形は、印象的な自己交差形状が求められる紋章学やデザインにも見られる。

さらなる区別と注目すべき事実

• すべての凸正多角形には外接円と内接円が存在する。辺の数および半径の関係については標準的な資料を参照。
• 内角の公式と面積は、n および辺長か半径のいずれかだけに依存する。等しい長さに関する慣例と公式の解説を参照。
• 星形多角形 {n/k} は、正多角形という概念が凸性を越えて拡張されることを示す。星形についてはシュレーフリ記法の要約を参照。
• 対称性を支配するのは二面体群 Dn である。関連事項は二面体群の解説を参照。
• 古典的な作図可能性の規則は数論的な文脈で扱われる。作図可能な多角形におけるガウス＝ヴァンツェルの判定基準を参照。
• 例、図、およびさらなる幾何学的証明については、多角形に関する資料の初等幾何学の教材を参照。

正多角形は、等しい辺と角という単純な局所的規則と、円、対称性、代数的作図可能性という豊かな大域的構造を兼ね備える。その研究は、初等ユークリッド幾何学を群論、数論、ならびにデザインと視覚芸術における応用へと結び付けている。