楕円の長半径と短半径：定義・性質・公式・応用

定義と基本的性質

慣例により、長半径をa、短半径をbで表し、a ≥ bとする。楕円を横切る全長は、長軸が2a、短軸が2bである。二つの半軸は直交しており、短半径は図形の中心で長半径と直角に交わる。この垂直の関係はユークリッド幾何学における垂直として一般に記される。

主要な関係式と公式

• 標準的な直交座標方程式（軸が座標軸に平行な場合）：x²/a² + y²/b² = 1。
• 楕円の面積：πab。
• a ≥ bのとき、中心から各焦点までの焦点距離cは c² = a² − b² を満たす。離心率は e = c/a = sqrt(1 − b²/a²) である。
• 円は特殊な場合であり、a = b = rとなる。ここでrは円の半径であり、二つの半軸は一致する。

歴史と数学における役割

楕円とその軸は古代から研究されてきたが、座標法の発展後には解析幾何学と天体力学の中心的概念となった。代数的および微分的な取扱いでは、半軸は二次曲線を標準化・分類し、離心率や面積などの不変量を表すために用いられる。

応用と例

長半径と短半径は、数学、物理学、工学の各分野で用いられる。軌道力学では、物体の楕円軌道の長半径が、ケプラーの法則のもとで軌道の特徴的な大きさと周期を決定する。光学や機械設計では、指定された半軸をもつ楕円により、集光特性や必要な空間的余裕を制御できる。統計学では、誤差楕円の軸が二次元推定値の分散と共分散を反映する。

重要な区別

記号法には違いがあるものの、a ≥ bという慣例により曖昧さは避けられる。すなわち、長半径は常に二つのうち大きい方である。回転または平行移動した楕円でも、半軸は主要な半直径を表すが、座標軸とは一致しなくなる。それでも半軸は互いに直交し、楕円の中心を通る。実用的な計算では、半軸を用いて境界ボックス、面積、その他の幾何学的量を求めることが多い。