平方（代数学）：定義・性質・用途

基本的な性質

実数では、どの数の平方も負でない。すなわち、x2 ≥ 0 である。整数の平方は、0、1、4、9、16、25、…という完全平方数の列をなす。平方に関する重要な代数恒等式には、二項式の展開と平方差の因数分解がある。

• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• a2 - b2 = (a - b)(a + b)

幾何学との関係

「平方」という語は平面幾何学に由来する。数を平方することは、その数に等しい辺の長さをもつ正方形の面積を計算することに対応する。辺の長さが s の正方形の面積は s2 であり、数の平方と二次元の測定とを結び付けている。幾何学的な正方形とその面積の性質については、正方形（図形）を参照。同様に、多くの面積の単位は長さの単位の平方で表される（例：平方メートル）。面積の単位も参照。

代数および関数における役割

関数としての f(x) = x2 は基本的な二次関数であり、そのグラフは鉛直軸に関して対称な放物線となる。平方は、二次方程式を解くこと、多項式を操作すること、ベクトル空間におけるノルムを計算すること、二次形式を定義することなど、代数学の全体に現れる。逆の演算は平方根を取ることであり、0以上の実数上では主平方根を通常 √x と表す。平方を含む指数法則については、累乗に関する資料を参照。

例と注目すべき事実

• 平方は偶奇性を保つ。偶数の整数の平方は偶数であり、奇数の整数の平方は奇数である。
• 負の数を平方すると正の結果が得られる。(-3)2 = 9。
• 二次方程式を解くための平方完成など、多くの問題解決の手法は平方に関する恒等式を利用する。

平方演算は単純で広く使われるため、算術、幾何学、高等代数学の橋渡しとなる。面積の公式、物理法則、統計学における分散、多くの計算アルゴリズムに現れる。