標準偏差

基本例

以下の8つの数字を持つグループを考えてみましょう。

22,4,4,544455,7,9

この8つの数字の平均値は5である。

24557+ + + + + + + = {{displaystyle {}} {2+4+4+5+5+7+9}{8}}=544985}となります。

母集団の標準偏差を計算するには、まず、リストの各数値の平均値からの差を求めます。次に、それぞれの差の結果を2乗します。

( 2-5 ) =2 ( -3 ) = 2(95 - 5) = 2022(04 - 15) = 2(15 -5 ) = 202( 04-5 ) = 2( -1 ) = 22(17 - 55) = 22( 44- ) = 2( 1242- ) = ( - ) = ( - ) = ={{195216array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}

次に、これらの値の平均値（和÷数字の数）を求めます。最後に、平方根をとります。

( +9 + 100416+ + + + + ) = {\\ {(11829+1+1+1+0+4+16)}{8}}=2}となります。

答えは「母集団標準偏差」です。この式が成り立つのは、最初に挙げた8つの数字がグループ全体のものである場合だけです。もし、無作為に選ばれたグループの一部だけであれば、最後から2番目のステップの下（分母）に8（n）ではなく、7（n-1）を使うべきです。すると、答えは標本標準偏差となります。これをBessel's Correctionといいます。

その他の例

少し難しい実例です。米国の成人男性の平均身長は70インチで、標準偏差は3インチです。標準偏差が3インチということは、ほとんどの男性（正規分布を仮定した場合、約68％）の身長が平均値（67インチ〜73インチ）よりも3インチ高いか3インチ低い、つまり1つの標準偏差ということになります。ほぼすべての男性（約95％）の身長は、平均値（64インチ～76インチ）よりも6インチ高く、6インチ低く、つまり2つの標準偏差があります。3つの標準偏差は、調査対象となるサンプル集団の99.7%のすべての数値を含みます。これは、分布が正規（ベル型）の場合に当てはまります。

もし標準偏差がゼロならば、すべての男性の身長はちょうど70インチになります。標準偏差が20インチであれば、一部の男性は平均よりもはるかに背が高く、またははるかに低く、典型的な範囲は約50インチ～90インチとなります。

別の例では、{0, 0, 14, 14}、{0, 6, 8, 14}、{6, 6, 8, 8}の3つのグループのそれぞれの平均（平均）は7ですが、標準偏差は7、5、1です。基本的な考え方は、標準偏差は、残りの数字が平均からどれだけ離れているかを教えてくれます。標準偏差の単位は、数字と同じです。例えば、{0, 6, 8, 14}というグループが4人の兄弟の年齢を年で表している場合、平均は7年、標準偏差は5年です。

標準偏差は、不確実性の尺度として用いられることがあります。例えば、科学の分野では、繰り返し行われる測定の標準偏差は、科学者が平均的な数値をどの程度確信しているかを知るのに役立ちます。実験で得られた測定値が予測と一致するかどうかを判断する際、それらの測定値の標準偏差は非常に重要です。実験で得られた平均的な数値が予測された数値からあまりにも離れている場合（その距離は標準偏差で測定されます）、検証されている理論は正しくないかもしれません。予測区間を参照。

応用例

一連の値の標準偏差を理解することの用途は、「平均」(mean)からどの程度の差が予想されるかを知ることにあります。

天気予報

簡単な例として、内陸部と海に近い場所にある2つの都市の1日の平均最高気温を考えてみましょう。海に近い都市の日最高気温の範囲は、内陸部の都市よりも小さいことを理解しておくとよいでしょう。この2つの都市は、それぞれ同じ日最高気温の平均値を持つかもしれない。しかし、沿岸部の都市の一日の最高気温の標準偏差は、内陸部の都市のそれよりも小さくなります。

スポーツ

別の見方をすれば、スポーツチームを考えてみましょう。どんなスポーツでも、得意なチームと不得意なチームがあります。上位にランキングされたチームは、能力の差があまり見られません。ほとんどのカテゴリーで良い成績を残します。各カテゴリーの能力の標準偏差が低いほど、バランスが取れていて一貫性があります。しかし、標準偏差が高いチームは、予測がつきにくくなります。ほとんどのカテゴリーで普段から悪い成績を残しているチームは、標準偏差が低くなります。ほとんどのカテゴリーで普段から良い成績を収めているチームは、標準偏差も低くなります。しかし、標準偏差が高いチームは、多くのポイントを獲得する（オフェンスが強い）一方で、相手チームに多くのポイントを取らせてしまう（ディフェンスが弱い）タイプのチームかもしれません。

どのチームが勝つかを事前に知るためには、様々なチームの "統計 "の標準偏差を見るとよいでしょう。予想と異なる数値は、強みと弱みを一致させ、どちらのチームが勝つかを知る上で最も重要な理由を示すことができます。

レースでは、ドライバーがコースを1周するのにかかった時間を計測する。ラップタイムの標準偏差が小さいドライバーは、標準偏差が大きいドライバーよりも安定しています。この情報は、ドライバーが1周するのにかかる時間を短縮する方法を理解するのに役立ちます。

マネー

お金の世界では、標準偏差は、価格が上下するリスクを意味する場合があります（株式、債券、不動産など）。また、価格のグループが上昇または下降するリスクを意味する場合もあります（アクティブ運用のミューチュアル・ファンド、インデックス・ミューチュアル・ファンド、またはETF）。リスクは、何を買うかを決定する一つの理由となります。リスクは、人々がどれだけのお金を得たり失ったりする可能性があるかを知るために使用できる数字です。リスクが大きくなればなるほど、投資のリターンは期待以上のものになる可能性があります（標準偏差の「プラス」）。一方で、予想以上に損失を被ることもあります（標準偏差マイナス）。

例えば、ある人が2つの銘柄を選ぶことになったとします。過去20年間の株式Aの平均リターンは10％で、標準偏差は20％ポイント（pp）でした。一方、銘柄Bの過去20年間の平均リターンは12％ですが、標準偏差は30ppと高くなっています。リスクを考えると、株式Aの方が安全だと判断する人もいるでしょう。儲けは少なくても、損失も少ないだろう。その人は、株式Bの平均値が2ポイント高いことは、標準偏差が10pp増えること（より大きなリスクや期待リターンの不確実性）に見合わないと考えるかもしれません。

正規分布する数値のルール

標準偏差の計算式の多くは、数値が正規分布していることを前提としています。これは、数字が平均値の両側にある一定の方法で広がっていることを意味します。正規分布は、カール・フリードリヒ・ガウスが発見したことから、ガウス分布とも呼ばれています。また、数値が広がっていく様子がグラフ上でベルの形をしていることからベルカーブと呼ばれることもあります。

数字が平均値の片側または反対側にまとまっていると正規分布ではない。数字が広がっていても、正規分布になります。標準偏差は、数値がどの程度広がっているかを示します。

紺色は、平均からの標準偏差が1以下の場合。正規分布の場合、これは68.27パーセントの数字を含み、平均から2つの標準偏差（中と紺）は95.45パーセントを含み、3つの標準偏差（薄、中、紺）は99.73パーセントを含み、4つの標準偏差は99.994パーセントを占めます。

平均値（平均）と標準偏差の関係

一連のデータの平均値（平均）と標準偏差は、通常、一緒に書かれる。そうすることで、平均的な数値が何であるか、またグループ内の他の数値がどれくらい広く分布しているかを理解することができます。

また、数値群の広がり方は、標準偏差を平均値で割った変動係数で表すことができます。これは無次元の数値である。変動係数は、しばしば100％を乗じて、パーセンテージとして表記されます。

沿革

標準偏差という言葉は、1894年にカール・ピアソンが講義で使った後、文章で初めて使った。これは、ガウスが平均誤差を使っていたように、同じ考えを表す以前の名前に代わるものでした。

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