定規とコンパスによる作図：方法、限界、代数的特徴づけと不可能性

基本作図と例

いくつかの単純な操作から、多くの標準的な作図が導かれる。例えば、垂線を立てること、線分を二等分すること、角を二等分すること、線分を写し取ること、与えられた辺を一辺とする正三角形を作ること、円に多角形を内接させることなどである。角の二等分を繰り返せば、辺の数が2のべき乗である正多角形が得られる。ユークリッド幾何学の古典的な演習では、こうした手順が定規とコンパスによる段階的な作図として示される。

代数的特徴づけ

これらの作図で到達できる点と長さの範囲は、代数的に記述できる。作図可能な長さは、有理数から平方根による拡大を順に行って得られる数に対応する。別の言い方をすれば、関与する体の拡大次数は2のべき乗である。この対応により、代数を用いて作図可能性を判定できる。特定の作図について幾何学的な条件を多項式方程式へと翻訳し、必要な根が二次拡大の塔の中に含まれるかを調べるのである。

正多角形と既知の限界

カール・フリードリヒ・ガウスは、どの正n角形が作図可能であるかを正確に示した。すなわち、正n角形が定規とコンパスで作図可能であるのは、nが2のべき乗と相異なるフェルマー素数の積との積に等しい場合、かつその場合に限る。この判定基準は、作れる正多角形が限られた族に属する理由を説明する。知られているフェルマー素数はわずかであるため、現在作図可能とされる奇数辺の正多角形の一覧も限定される。現代的な扱いでは、この結果はガロア理論、および個々のnに対する明示的なコンパスと定規の方法に結び付けられる。正多角形の一覧、およびnの因数分解において辺の数に関する奇数因子が果たす特別な役割を参照。

不可能性の結果とより深い理論

定規とコンパスの規則の下では不可能な、著名な古典問題がいくつかある。一般の角の三等分は任意の角については実行できず、立方体倍積、すなわち与えられた立方体の2倍の体積をもつ立方体の作図も不可能である。また、与えられた円と同じ面積をもつ正方形を作る「円積問題」の証明された不可能性は、現代の超越性に関する結果から導かれる。これらの不可能性は代数的・解析的な定理の帰結である。ガロア理論は次数の制約から生じる限界を説明し、円周率πの超越性は円積作図を排除する。

歴史的には、定規とコンパスによる作図はギリシア幾何学の大部分を形作り、代数学の発展を通じても中心的な主題であり続けた。今日では、古典的な作図技法と抽象的な体論をつなぐ代表的な例とみなされ、その限界は、代数が幾何学的な可能性を決定する明快な実例を与えている。