加重平均（重み付き平均）

定義と公式

記号で表すと、加重平均は (Σ w_i x_i) / (Σ w_i) により計算される。別の言い方をすれば、重要度に応じて調整された値の平均である。分子は、重みと対応する値との積の合計であり、その結果を重みの総和で割る。重みの合計が1であれば分母は省略でき、加重平均は各値の凸結合となる。

主な性質

• 線形性：重みが固定されている場合、加重平均は値に関して線形である。
• 範囲：重みが非負で、その合計が正である場合、加重平均は各値の最小値と最大値の間にある。
• 正規化：重みは、合計が1になるように調整されることが多く、比率としての解釈が容易になる。
• 境界事例：重みの総和がゼロの場合、この式は定義されない。負の重みも数学的には許されるが、外挿を生じることがあり、慎重な解釈を要する。

用途と例

加重平均は多くの分野で用いられる。金融では、資産収益率を配分比率で重み付けしてポートフォリオの収益率を求める。教育では、構成要素ごとに異なる単位価値がある場合に評価得点を組み合わせる。調査分析では、不均等な抽出確率を調整するために使われる。時系列では、加重移動平均が直近の観測値をより重視する。例えば、値が70、80、90で、重みが1、2、1の場合、加重平均は (1*70+2*80+1*90)/(1+2+1)=80 である。

変種と関連概念

密接に関連する指標には、乗法的な方法または順序に基づく方法で重み付けを行う加重幾何平均と加重中央値がある。加重移動平均は、時間にわたって変化する重みを適用する。実務者は、標本サイズや確率などに基づいて客観的に、または専門家の判断に基づく場合には透明性をもって、重みを選択しなければならない。

歴史と解釈に関する注記

この考え方は、データ点の関連性が等しくない状況へ単純平均を拡張するものである。異質な情報を集約するための基礎的な手法として、統計学、経済学、工学で用いられている。再現可能で解釈可能な結果を得るには、重みをどのように割り当てたかを明確に報告することが不可欠である。