射出関数（単射）の定義と性質 例と超射出・両射出との違い

数学において、単射（注入）とは次のような性質を持つ関数f : A → Bのことである。すなわち、共領域Bのすべての要素bに対して、領域Aの中にf(a)＝bとなる要素aが存在するとしても、それは高々（最大で）1つである。等価な定義として、任意のa1, a2 ∈ Aについてf(a1)＝f(a2)ならばa1＝a2である、という条件がある。

「射出」という言葉、および関連する超射出、両射出はニコラス・ブルバキによって導入された。1930年代、ブルバキは他の数学者たちとともに現代数学の形式的な記述を進める著作を発表した。

単射はしばしば1-1（one-to-one）関数と呼ばれる。しかし注意が必要なのは、日常語としての「1対1対応（one-to-one correspondence）」は通常、単射かつ全射（全単射＝双射、bijection）を意味する、すなわち両方の性質を満たす対応を指す場合が多い点である。用語の使い分けに注意しよう。

単射の同値条件と直感的意味

  • 異なる元は必ず異なる像を持つ：a1 ≠ a2 ⇒ f(a1) ≠ f(a2)。
  • 逆像が高々1つ：任意の b ∈ B に対して f^{-1}({b}) の元の個数は 0 または 1。
  • 左約分可能（左可逆）：ある関数 g: B → A が存在して g ∘ f = id_A となるとき、f は単射である。逆に f が単射ならば選択公理を使って（対象によっては明示的に）左逆元 g を定められる場合がある。

基本的な性質

  • 関数の合成に関して：もし f と g が共に単射ならば g ∘ f も単射である。
  • 有限集合について：f: A → B が単射ならば |A| ≤ |B| が成り立つ。
  • 線型代数では、線型写像が単射であることはその核が零空間であることに同値である。
  • 実数上の連続関数では、単射であるための十分条件として単調増加または単調減少であることが挙げられる（ただし必須条件ではない）。
  • 可逆性：f が単射かつ全射（双射）であれば逆写像 f^{-1}: B → A が一意に存在する。

例

  • f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x は単射（任意の x,y について 2x = 2y ⇒ x = y）。
  • f: ℝ → ℝ, f(x) = x^2 は全体の実数に対しては単射でない（1 と −1 が同じ像 1 を持つ）。しかし制限域を [0,∞) にすれば単射になる。
  • f: ℝ → (0,∞), f(x) = e^x は単射だが、像は正の実数に限られるため ℝ 全体への全射ではない。
  • 集合 A = {1,2,3}, B = {a,b,c,d} について、f(1)=a, f(2)=b, f(3)=d のように異なる像を与えれば f は単射。

単射と全射・双射との違い

  • 単射（injective）: 異なる元を異なる像に写す（上で説明した条件）。
  • 全射（surjective、超射）: 任意の b ∈ B に対して少なくとも1つの a ∈ A が存在して f(a)=b となる。像 f(A) が B に一致する。
  • 双射（bijective、全単射）: 同時に単射かつ全射であり、逆写像が存在する。

応用と補足

  • 集合の濃度比較：集合 A から B への単射が存在することは |A| ≤ |B| の直感的な意味を与える。逆も成り立つ場合（互いに単射が存在する）には Cantor–Schroeder–Bernstein の定理より双射が存在する。
  • 単射の判定法は対象によって異なる。関数の解析的表現がある場合は等式を調べる、または微分を使って単調性を調べる等が有効。
  • 左逆（section）や右逆（retraction）という概念によって単射・全射の存在を特徴付けることができる。特に、左逆が存在すれば単射、右逆が存在すれば全射である。

最後に用語上の注意として、場面によって「1-1」が単射を指すこともあれば、文脈により「1対1対応」が双射（全単射）を指すこともあるため、文脈を確かめて使うようにしてください。

基本特性

正式には

f :A → B {displaystyle f:Arightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} is an injective function if ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {}displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,a_{1}neq a_{2}},\Rightarrow \,f(a_{1})\neq f(a_{2})}{\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} または等価的に

f :A → B { {displaystyle f:Arightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} は、∀ a 1 , a 2 , ∈ A のとき、射影関数である。f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\Rightarrow \,a_{1}=a_{2}} {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}

f ( a ) = b {displaystyle f(a)=b}{\displaystyle f(a)=b} のとき、要素 a {displaystyle a}a は要素 b {displaystyle b}{\displaystyle b} の前画像と呼ばれます。注入はBの各要素bに対して1つまたは1つの前画像を持つ。

カードリッジ

カージナリティとは、集合に含まれる要素の数のことです。A={X,Y,Z,W}のカージナリティは4であり、#A=4と表記する。

  • コドメインのカージナルがドメインのカージナルより小さい場合、その関数はインジェクションにはなりえません。(例えば、6個の要素を5個の要素に重複なく対応させる方法はない)。

例

基本機能

f(x):ℝ→ℝを実数値引数xの実数値関数y=f(x)とする（つまり、入力も出力も実数である）。

  • グラフィックの意味関数fは、すべての水平線がfのグラフと多くて1点で交差するとき、射出である。
  • 代数的な意味。関数 f は、f(xo )=f(x1 ) が xo =x1 を意味するとき、注入である。

例斜線の一次関数は1-1である。すなわち、y=ax+bここでa≠0は射出である。(逆射影でもあるので両射影となる)。

証明する。xo と x1 を実数とする。直線はこの二つのx値を同じy値に写すとする。これは、a-xo +b=a-x1 +bを意味する。両辺からbを引く。a-xo =a-x1 となる。ここで両辺をaで割る(a≠0と覚えておく)。xo =x1 が得られる。というわけで、形式的な定義と、a≠0が注入である関数y=ax+bが証明された。

例3次の多項式関数：f(x)=x3 は射出である。しかし、3次の多項式関数：f(x)=x3 -3xは射出ではありません。

考察1：任意の水平線は、以下のグラフと交差する。

f(x)=x3 ちょうど一度だけです。(また、それは超射影である)。

考察2．y=-2 と y=2 の間の水平線は3点でグラフと交差するので、この関数は射出ではない。(ただし、逆射影である）。

例二次関数f(x) = x2 は射出ではありません。

ディスカッションc>0となる任意の水平線y=cは、グラフと2点で交差する。したがって、この関数は射出ではありません。(また、サジェクションでもない)。

注：非射影関数を射影関数にするには、定義域の一部を削除すればよい。これを定義域の限定と呼ぶ．たとえば，f(x)=x²の定義域を負でない数（正の数と0）に限定する．定義

f / [ 0 , + ∞ )( x ) : [ 0 , + ∞ )→ R {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x):[0,+infty ]\rightarrow \mathbf {R} }{\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } where f / [ 0 , + ∞ ]であれば、[0, + ∞]です。( x ) = x 2 {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}} }. {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

この関数は現在、インジェクションになっています。(関数の制限も参照)

例指数関数f(x) = 10x は注入である。(ただし、サジェクションではありません）。

ディスカッションどのような水平線も、最大で1点でグラフと交差する。c>0となる水平線y=cは，ちょうど1点でグラフを切断する。c≦0の水平線y=cは，どの点でもグラフを切断しない。

注）指数関数が射影であることは、計算上でも利用できる。

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}},\Rightarrow｜x_{0}=x_{1},\,a>0} 。 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

例：100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {displaystyle 100=10^{x-3}},\Rightarrow｜2=x-3},\Rightarrow｜x=5}. {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5} 

射出：グラフの2点以上と交差する水平線はない

射出。f(x):ℝ→ℝ（とサジェクション）。

射出。f(x):ℝ→ℝ（とサジェクション）。

インジェクションではない f(x):ℝ→ℝ (サージェクションである)

インジェクションではない f(x):ℝ→ℝ (サージェクションではない)

射出。f(x):ℝ→ℝ (surjectionではない)

射出。 f(x):(0,+∞)→ℝ (およびサージャクション)

その他の例

例対数関数 base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ f(x)=log(x) または y=log10 (x) で定義されるものは射影（および超射影）です。(これは 10x の逆関数である)。

例すべての自然数nを2nに写す関数f:ℕ→ℕは注入である。すべての偶数はちょうど1つの前画像を持つ。すべての奇数には前像がない。

関連ページ

質問と回答

Q: 数学における射影関数とは何ですか?


A: 射影関数とは、定義域の異なる要素が共領域の異なる要素に写像される性質を持つ関数 f: A → B のことです。

Q: 射影関数の定義域と共領域の要素間の関係は?


A: 共領域Bの各要素bに対して，領域Aにはf(a)=bとなる要素aが最大1つ存在する．

Q: 注入、サージャクション、双射影という言葉を導入したのは誰ですか?


A: ニコラス・ブルバキ（Nicholas Bourbaki）をはじめとする数学者たちが、射影、超射影、両射影という言葉を導入した。

Q: 射影関数とはどういう意味ですか?


A: 射影関数とは，領域Aの各要素が共領域Bの一意な要素に写像することを意味する．

Q: 射影関数は1-1対応とどう違うのですか?


A: 射影関数はしばしば1-1（一対一）関数と呼ばれるが，両対称関数（射影と超射影の両方）である1-1対応とは区別される．

Q: 射影関数の性質とは?


A: 射影関数の性質は，定義域の異なる要素が共領域の異なる要素に写像することである．

Q: 数学における射影関数の意義は何ですか?


A: 射影関数は，定義域の異なる要素が共領域の異なる要素に写像されるという性質から，位相幾何学，解析学，代数学など多くの数学分野で重要な役割を果たしています．

AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3