射出関数

数学において、注入関数とは次のような性質を持つ関数f : A → Bのことである。共領域Bのすべての要素bに対して、領域Aの中にf(a)=bとなる要素aが最大1つ存在する。

射出という言葉、および関連する超射出、両射出はニコラス・ブルバキによって導入された。1930年代、ブルバキは他の数学者たちとともに、現代の高度な数学に関する一連の本を出版した。

射影関数は、しばしば1-1関数と呼ばれる。しかし、1-1対応は、両投影関数（射影と超射影の両方）である。これは紛らわしいので、注意しましょう。

基本特性

正式には

f :A → B {displaystyle f:Arightarrow B} $f:A\rightarrow B$ is an injective function if ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {}displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,a_{1}neq a_{2}},\Rightarrow \,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ または等価的に

f :A → B { {displaystyle f:Arightarrow B} $f:A\rightarrow B$ は、∀ a 1 , a 2 , ∈ A のとき、射影関数である。f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\Rightarrow \,a_{1}=a_{2}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

f ( a ) = b {displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ のとき、要素 a {displaystyle a} は要素 b {displaystyle b} $b$ の前画像と呼ばれます。注入はBの各要素bに対して1つまたは1つの前画像を持つ。

カードリッジ

カージナリティとは、集合に含まれる要素の数のことです。A={X,Y,Z,W}のカージナリティは4であり、#A=4と表記する。

コドメインのカージナルがドメインのカージナルより小さい場合、その関数はインジェクションにはなりえません。(例えば、6個の要素を5個の要素に重複なく対応させる方法はない)。

例

基本機能

f(x):ℝ→ℝを実数値引数xの実数値関数y=f(x)とする（つまり、入力も出力も実数である）。

グラフィックの意味関数fは、すべての水平線がfのグラフと多くて1点で交差するとき、射出である。
代数的な意味。関数 f は、f(x_o )=f(x₁ ) が x_o =x₁ を意味するとき、注入である。

例斜線の一次関数は1-1である。すなわち、y=ax+bここでa≠0は射出である。(逆射影でもあるので両射影となる)。

証明する。x_o と x₁ を実数とする。直線はこの二つのx値を同じy値に写すとする。これは、a-x_o +b=a-x₁ +bを意味する。両辺からbを引く。a-x_o =a-x₁ となる。ここで両辺をaで割る(a≠0と覚えておく)。x_o =x₁ が得られる。というわけで、形式的な定義と、a≠0が注入である関数y=ax+bが証明された。

例3次の多項式関数：f(x)=x³ は射出である。しかし、3次の多項式関数：f(x)=x³ -3xは射出ではありません。

考察1：任意の水平線は、以下のグラフと交差する。

f(x)=x³ ちょうど一度だけです。(また、それは超射影である)。

考察2．y=-2 と y=2 の間の水平線は3点でグラフと交差するので、この関数は射出ではない。(ただし、逆射影である）。

例二次関数f(x) = x² は射出ではありません。

ディスカッションc>0となる任意の水平線y=cは、グラフと2点で交差する。したがって、この関数は射出ではありません。(また、サジェクションでもない)。

注：非射影関数を射影関数にするには、定義域の一部を削除すればよい。これを定義域の限定と呼ぶ．たとえば，f(x)=x²の定義域を負でない数（正の数と0）に限定する．定義

f / [ 0 , + ∞ )( x ) : [ 0 , + ∞ )→ R {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x):[0,+infty ]\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ where f / [ 0 , + ∞ ]であれば、[0, + ∞]です。( x ) = x 2 {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}} }. $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

この関数は現在、インジェクションになっています。(関数の制限も参照)

例指数関数f(x) = 10^x は注入である。(ただし、サジェクションではありません）。

ディスカッションどのような水平線も、最大で1点でグラフと交差する。c>0となる水平線y=cは，ちょうど1点でグラフを切断する。c≦0の水平線y=cは，どの点でもグラフを切断しない。

注）指数関数が射影であることは、計算上でも利用できる。

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}},\Rightarrow｜x_{0}=x_{1},\,a>0} 。 $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

例：100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {displaystyle 100=10^{x-3}},\Rightarrow｜2=x-3},\Rightarrow｜x=5}. $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

射出：グラフの2点以上と交差する水平線はない

射出。f(x):ℝ→ℝ（とサジェクション）。

インジェクションではない f(x):ℝ→ℝ (サージェクションである)

インジェクションではない f(x):ℝ→ℝ (サージェクションではない)

射出。f(x):ℝ→ℝ (surjectionではない)

射出。 f(x):(0,+∞)→ℝ (およびサージャクション)

その他の例

例対数関数 base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ f(x)=log(x) または y=log₁₀ (x) で定義されるものは射影（および超射影）です。(これは 10^x の逆関数である)。

例すべての自然数nを2nに写す関数f:ℕ→ℕは注入である。すべての偶数はちょうど1つの前画像を持つ。すべての奇数には前像がない。

質問と回答

Q: 数学における射影関数とは何ですか?

A: 射影関数とは、定義域の異なる要素が共領域の異なる要素に写像される性質を持つ関数 f: A → B のことです。

Q: 射影関数の定義域と共領域の要素間の関係は?

A: 共領域Bの各要素bに対して，領域Aにはf(a)=bとなる要素aが最大1つ存在する．

Q: 注入、サージャクション、双射影という言葉を導入したのは誰ですか?

A: ニコラス・ブルバキ（Nicholas Bourbaki）をはじめとする数学者たちが、射影、超射影、両射影という言葉を導入した。

Q: 射影関数とはどういう意味ですか?

A: 射影関数とは，領域Aの各要素が共領域Bの一意な要素に写像することを意味する．

Q: 射影関数は1-1対応とどう違うのですか?

A: 射影関数はしばしば1-1（一対一）関数と呼ばれるが，両対称関数（射影と超射影の両方）である1-1対応とは区別される．

Q: 射影関数の性質とは?

A: 射影関数の性質は，定義域の異なる要素が共領域の異なる要素に写像することである．

Q: 数学における射影関数の意義は何ですか?

A: 射影関数は，定義域の異なる要素が共領域の異なる要素に写像されるという性質から，位相幾何学，解析学，代数学など多くの数学分野で重要な役割を果たしています．