デカルト積：集合の順序付き組とその性質・応用

主な性質

• 非可換性：特定の全単射（交換写像）を定めない限り、A × B と B × A は同じものではない。成分の順序が重要である。
• 濃度（有限の場合）：A と B が有限集合ならば、|A × B| = |A|・|B| である。
• 空の因子：A または B のいずれかが空集合であれば、A × B は空集合である。
• 同型を除く結合性：A × (B × C) と (A × B) × C の間には自然な対応があるが、元となる組では括り方が異なる。
• 射影写像：標準的な射影 π1: A × B → A および π2: A × B → B は、(x, y) をそれぞれ x および y に写す。これらは成分を取り出すために用いられる。

デカルト積は、順序付き n 組を作る n 重積 A1 × A2 × … × An や、添字付き族 {Ai}_{i∈I} に一般化される。無限個の集合からなる族の場合、その積は、添字集合 I 上のすべての関数 f であって、各 i について f(i) ∈ Ai を満たすものからなる。空でない集合の無限積に元が存在することは選択公理と関係する。各 Ai から1要素を選ぶ規則が指定されていなければ、明示的な元を定義できない場合がある。

用途と例

• 座標空間：実平面 ℝ² は ℝ × ℝ であり、高次元のユークリッド空間は ℝ の有限デカルト積である。
• 関係と関数：A と B の間の二項関係は A × B の部分集合である。A から B への関数は、一意性条件を満たす A × B の特別な部分集合とみなせる。
• データベースとコンピューティング：デカルト結合（クロス結合）は、一方の表の各行を他方の表の各行と組み合わせ、積の構成を実際に実装する。
• 代数学と位相幾何学：直積構成および積位相は、基礎となる集合としてデカルト積を用いる。

いくつかの形式的な点がしばしば強調される。順序付き対についての慣習的な集合論的定義（例えばクラトフスキー対）により、標準的な枠組みの内部で積は適切に定義される。添字付きの空な族の積は、通常、空関数だけを含む単集合と同一視される。また、積の多くの構造的特徴は圏論における普遍性によって表現される。したがってデカルト積は、数学とその応用における多成分データを整理する、単純でありながら広く用いられる道具である。