コーシー列：定義、性質、完全性との関係
コーシー列とは、列が進むにつれて各項が互いに任意に近づく列である。内在的な収束を形式化する概念であり、完全性と解析学の中心的な概念である。
数学において、コーシー列とは、数列の項が、共通の極限が分かっていない場合や、その極限が属する空間内に存在しない場合でも、やがて互いに密集するという考え方を捉える概念である。直観的には、列の後ろの方へ進むほど、どの二つの後続項も互いに近くなる。特定の極限点に依存しないこの内在的な収束の概念は、解析学の基礎となる。
定義
距離空間 (X,d) において、列 (x_n) がコーシー列であるとは、任意の ε>0 に対してある N が存在し、m,n ≥ N を満たすすべての m,n について d(x_m,x_n) < ε となることである。
主な性質
- すべての収束列はコーシー列である。各項が共通の極限に近づくため、互いにも近づくからである。
- 逆は完全空間で成り立つ。すなわち、すべてのコーシー列はその空間のある点に収束する。
- コーシー性は周囲の空間に依存する。ある空間ではコーシー列であっても、完全でない部分空間では発散することがある。
例と重要性
古典的な例として有理数を用いるものがある。√2 の小数近似は、有理数の中ではコーシー列をなすが、有理数の中では収束しない。これは Q が完全でないことを示している。コーシー列は、完備化の構成、たとえば Q を完備化して実数を得る際の基礎となり、内在的な収束判定が必要となる実解析学、関数解析学、数値計算法に広く現れる。
関連概念と歴史
この概念は、19世紀に厳密な解析学の発展に寄与したオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなむ。一般位相論では、コーシーネットやコーシーフィルターなどの変種が用いられる。空間が完全かどうかは、しばしばすべてのコーシー列が収束することを確認する問題に帰着されるため、この概念は距離空間および一様空間を研究する実用的な道具でもある。
関連項目
著者
AlegsaOnline.com コーシー列：定義、性質、完全性との関係 Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/17679