コーシー分布（コーシー＝ローレンツ分布）：性質・確率密度・用途

確率密度と標準形

確率密度関数は簡潔に表せる。位置を x0、尺度を γ>0 とすると、実数値 x における密度は γ/((x−x0)^2+γ^2) に比例する。正規化された式については、確率密度関数の項目でより詳しく扱われる。x0=0 かつ γ=1 のとき、標準コーシー密度 f(x)=1/[π(1+x^2)] が得られる。これは対称な釣鐘形の曲線であるが、正規分布よりも裾が重い。

主な性質

コーシー分布は、その重い裾で特に知られる。多くの一般的な分布とは異なり、一階および二階のモーメントが存在しない。すなわち、通常の算術平均と分散は定義されない。このため、標本平均は古典的な大数の法則で保証される形では収束しない。しかし、中央値と最頻値は明確に定義され、いずれも位置母数に等しい。また、特定の線形分数変換に対して閉じている。

歴史と関連

歴史的には、この形状は19世紀に研究され、のちに共鳴現象を研究する物理学者に採用された。同じ関数形は多くの物理的な線形状と共鳴を記述する。このため、この分布は分光学や関連分野で活動する人々による物理学の文献や応用でしばしば参照される。このプロファイルが現れる物理的文脈については、分光学および共鳴の項目を参照。

用途と例

コーシー分布の実用的な用途には、共鳴線形状のモデル化がある。また、モーメントに基づく推論の限界を示すための理論統計学における標準的な例でもある。これは自由度1のスチューデントの t 分布と同一であり、極端な値が正規分布モデルが許すよりも起こりやすい場合には、単純な裾の重い代替分布となる。ロバスト統計学およびベイズモデリングでは、大きな偏差を許容する必要がある場合に、コーシー型の事前分布が用いられることがある。

主な相違点と要約

要するに、コーシー分布は重い裾と有限の平均・分散をもたないことを特徴とする、簡潔な二母数分布族である。こうした特徴により、物理学では有用なモデルとなる一方、確率論と統計学では標準的な反例ともなり、よく知られた収束結果がすべての連続分布に自動的に適用されるわけではないことを示している。

• 別名：ローレンツ分布（物理学）— 物理学者。
• 標準形：x0=0、γ=1 — f(x)=1/[π(1+x^2)]（確率密度関数を参照）。
• 統計上の注意：平均と分散は定義されない（平均、分散）。標本平均は収束するとは限らない（大数の法則）。