楕円体：数学的性質、種類、測地学と応用

数学的記述と性質

代数的には、楕円体は正定値二次形式の等位集合であり、対称正定値行列 A に対して {x ∈ R³ : xᵀAx = 1} と表せる。同値に、楕円体は単位球を可逆な線形写像で移した像であり、このことはその幾何学的性質の多くを説明する。楕円体は厳密に凸で、中心対称であり、あらゆる平面断面は楕円となる（特別な場合には円となる）。

種類と特別な場合

• 球：a = b = c。
• 回転楕円体：a = b ≠ c。c < a なら扁球、すなわち極方向に扁平な形であり、c > a なら長球、すなわち引き伸ばされた形である。扁球も参照。
• 三軸楕円体：a、b、c がすべて異なる。

体積は V = (4/3)πabc と簡潔に表される。表面積は一般の三軸楕円体では初等的な閉形式を持たず、楕円積分を用いて表される。ただし、球および回転楕円体では式が簡単になる。

歴史と測地学上の重要性

楕円体は長年にわたり、惑星の形状を表すために用いられてきた。地球は、おおよそ扁球であり、極から極までの方向よりも赤道方向がわずかに広い。測地学者は、不規則なジオイドと比べて数学的扱いを簡単にできるため、地図投影や座標計算に理想化された参照楕円体を用いる。惑星の扁平率に関する古典的な科学研究はニュートンにまでさかのぼり、その後、測量学と天文学で改良が重ねられた。

応用と注目すべき事実

• 測地学と地図作成：地球および他の天体のための基準面と地図投影。
• 線形代数と統計学：共分散行列は、多変量解析および主成分分析で用いる信頼楕円体を定義する。
• 力学と光学：慣性楕円体は質量分布を記述し、鏡面や屈折光学系の設計では、焦点に関する性質のために共焦点楕円体が利用される。
• コンピュータグラフィックスと衝突検出：楕円体は単純な境界体積として用いられ、アフィン写像によって容易に変換できる。

あらゆる楕円体は球のアフィン変換であるため、多くの問題は逆変換を適用することで球の場合へ帰着できる。楕円体と平面の交線は楕円となり、楕円体の焦点・共焦点・共役に関する性質の研究は、幾何学を微分方程式および古典力学と結び付けている。