概要
等式とは、2つの式が同じ量を表すことを主張する数学的な文です。2つの側のあいだに等号を置いて書き、たとえば 3x + 2 = 11 のように表します。左辺と右辺は、数、変数、関数、またはより複雑な構造を含む式です。ある等式が許されるすべての値で成り立つとき、それはしばしば恒等式と呼ばれ、特定の値に対してのみ成り立つときは条件付き等式と呼ばれます。
構成要素と基本的な特徴
等式の典型的な構成要素には、定数（固定された数）、変数（未知量や変化する量を表す記号）、係数（変数に掛かる数）、演算子（+, −, ×, ÷, 累乗など）があります。これらを理解することは、等式を並べ替えたり簡単にしたりするときに重要です。変数の記法については変数を参照してください。
等式の主な種類
- 一次方程式: 変数の次数が1のものです（例: 2x + 3 = 7）。解は通常、1つの値か一次的な集合になります。
- 多項式方程式: 二次方程式（ax^2 + bx + c = 0）や三次方程式のような高次の式を含みます。
- 有理方程式と無理方程式: 多項式の比や根号を含みます。
- ディオファントス方程式: 整数解を求めるもので、数論に現れます。
- 微分方程式: 関数とその導関数の関係を表し、科学や工学における変化をモデル化します。
方程式を解くこととその方法
等式を解くとは、左右を等しくする値を見つけることです。初等代数では、両辺に同じ量を加える・引く、両辺を0でない同じ数で掛ける・割る、因数分解するといった規則を用います。より高度な問題では、代入、消去、グラフによる解釈、数値近似、あるいは特定の定理が使われます。これらの技法の入門は、しばしば代数の一部として扱われます。
歴史と記法
等号 "=" は16世紀に印刷された数学で一般的になり、その使用は等価性の表記を標準化するのに役立ちました。歴史的には、記号による等式は、代数的思考が言葉による説明から簡潔な記号操作へ移るにつれて、徐々に発展しました。現代の記法と手順はその後の数世紀で洗練され、数学教育の中核をなしています。
応用と特筆事項
等式は数学のほぼすべての分野で中心的であり、物理学、工学、経済学などでも不可欠です。等式は、法則、制約、関係を表します。たとえば、ニュートンの運動方程式、予算の収支、化学量論などです。ある等式はすべての入力に対して真である恒等式であり、別の等式は特定の値を求めるために解かれます。この区別は理論と計算の両方を導きます。解法に使う規則や戦略については解法の技法を参照してください。
等式を理解することは、モデル化、予測、論理的推論のための道具を与えます。単純な一次問題を解く場合でも、応用科学で偏微分方程式を解析する場合でも、等価性の概念とその周囲に築かれた方法は、基礎となり続けます。