オイラーのトーシェント関数（φ）：定義、性質、応用

基本公式と性質

トーシェント関数は乗法的である。すなわち、aとbが互いに素ならば、ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)が成り立つ。素数べきにおける値は簡明であり、素数pとk≥1に対して次のようになる。

• ϕ(pk) = pk − pk−1 = pk(1 − 1/p)。

ここから、素因数分解n=∏ pieiを持つ任意のnについて、オイラー積の公式ϕ(n)=n∏(1−1/pi)が得られる。数論的な帰結として、n>2であるすべてのnについてϕ(n)は偶数である。

代数的解釈と定理

ϕ(n)の値は、nを法とする乗法についての単元の乗法群、すなわちnと互いに素な整数からなる群の位数に等しい。より正確には、ϕ(n)は環Z/nZの単元群の大きさである。この関係から重要な結果が導かれる。この群にラグランジュの定理を適用すると、フェルマーの小定理を一般化するオイラーの定理が得られる。

歴史と名称

この関数はスイスの数学者オイラーにちなんで名付けられたが、関連する考え方はそれ以前にも現れていた。オイラーは18世紀、合同算術と原始根を研究する際にこの関数を用いた。現在の記法と研究は、その業績および他の数学者や数学史家による後続の発展を通じて形成された。現代の文献では「ファイ」（ϕ）という名称が一般的である。

例、計算、反転

基本的な値として、pが素数ならϕ(p)=p−1であり、ϕ(1)=1である。小さな例では、ϕ(9)=6、ϕ(10)=4となる。ϕ(n)はnを因数分解し、積の公式を適用して計算できる。したがって、効率的な計算は整数因数分解に依存する。メビウス反転および関連する恒等式により、ϕを含む乗法的和を復元できる。また、コトーシェントn−ϕ(n)は、n以下の整数のうちnと非自明な因子を共有するものの数を表す。

応用と重要な区別

オイラーのトーシェント関数は、暗号学、特にRSA暗号に現れる。合成数である法についてϕ(n)が分かれば、特定の公開鍵方式を破ることにつながる情報が得られるためである。代数的数論と群論では、単元群および円分多項式の構造を記述するのに役立つ。この関数は乗法的ではあるが完全乗法的ではない。また、単元群の位数ではなく指数を与えるカーマイケル関数など、関連する関数と混同してはならない。

補足

ϕ(n)に関する多くの問題と結果は、その平均的挙動や極値的挙動を扱う。たとえば、ϕ(n)の平均位数は(3/π2)nであり、ϕ(n)が同じ値をとるnは無限に存在する。「トーシェント方程式」とその逆問題は活発な研究分野である。証明の入門やさらに多くの例については、初等数論の標準的な教科書やオンライン資料を参照されたい。背景資料としては、φ関数、その発展における数学者の役割、およびnを法とする乗法群との関係に関する資料がある。

主要な参考資料と追加資料として、定義および初等的な証明は数論入門の講義で扱われる。アルゴリズム上の問題や暗号学的な含意は、計算数論と応用暗号の文献で論じられている。厳密な定式化と証明については、上記で触れた古典的定理も参照されたい。