数理解析とは：微分積分・関数・級数の定義と歴史（ライプニッツ・ニュートン）

制限事項

数学的解析の例として、極限がある。極限は、物事のごく近くで何が起こるかを見るために使われる。また、極限は物事が非常に大きくなったときに何が起こるかを見るために使われることもあります。例えば、1 n {displaystyle {}frac {1}{n}} は決してゼロではないが、n が大きくなると 1 n {displaystyle {}frac {1}{n}} はゼロに近くなる。1 n {displaystyle {}frac {1}{n}}} のnが大きくなるときの極限は0である。通常、"The limit of 1 n {displaystyle {\frac {1}{n}}} as n goes to infinity is zero "と言われます。lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{frac {1}{n}}=0} と書かれます。

2 × n {displaystyle {2}times {n}}} となる。.n {displaystyle {n}} が大きくなると、極限は無限大になります。lim n → ∞ 2 × n = ∞ {displaystyle \lim _{n}to \infty }{2}times {n}=theinfty } のように書けます。.

代数学の基本定理は複素解析学のいくつかの基本的な結果から証明することができる。これは、実数または複素数の係数を持つすべての多項式f ( x ) {displaystyle f(x)} は複素根を持つというものである。根とは、解 f ( x ) = 0 {displaystyle f(x)=0} を与える数xのことである。これらの根のいくつかは同じである可能性がある。

微分積分学

関数 f ( x ) = m x + c {displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} は直線である。m {displaystyle {m}} は関数の傾き、c {displaystyle {c}} は関数の縦軸の位置を示しています。直線上に2点あれば、傾きm {displaystyle {m}} を計算することができる。

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {displaystyle m={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}} という形の関数で、線形でないものは上記のように計算できません。のように、線形でない関数は計算できない。接線と割線を使って傾きを計算するしかない。割線は2点を通過し、2点が近づくと接線に変わる。

新しい式は m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {displaystyle m={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}} .

これを差分商という。x 1 {displaystyle x_{1}} は x 0 {displaystyle x_{0}} に近づいたことになる。.これは次の式で表すことができる。

f′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {displaystyle f'(x)=@lim _{x}rightarrow x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}} _ .

この結果を点x {displaystyle {x}} におけるfの微分または傾きと呼びます。.

統合化

積分は面積の計算についてです。

記号 ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle \int _{a}^{b}f(x)},\mathrm {d} x}.

は「fの積分、aからbまで」と読み、関数fのグラフであるx軸と直線x=a、x=bの間の面積を指します。a {displaystyle a} が領域の開始点、b {displaystyle b} が領域の終了点であるべき点です。

解析のトピックとしては、以下のようなものがあります。

• 微分積分学
• 複素解析
• 機能解析
• 数値解析

分析に役立つアイデアもあります。

• シリーズ
• シーケンス
• デリバティブ
• 積分