数理解析
数理解析は、数学の一部である。解析と略されることが多い。関数、数列、級数について調べます。これらは工学的に使える有用な性質や特徴を持っている。数理解析は連続関数、微分積分、積分についてである。
ゴットフリード・ヴィルヘルム・ライプニッツとアイザック・ニュートンは、数学的解析の基礎のほとんどを開発した。
数理解析の各部分
制限事項
数学的解析の例として、極限がある。極限は、物事のごく近くで何が起こるかを見るために使われる。また、極限は物事が非常に大きくなったときに何が起こるかを見るために使われることもあります。例えば、1 n {displaystyle {}frac {1}{n}}
は決してゼロではないが、n が大きくなると 1 n {displaystyle {}frac {1}{n}} はゼロに近くなる。1 n {displaystyle {}frac {1}{n}}} のnが大きくなるときの極限は0である。通常、"The limit of 1 n {displaystyle {\frac {1}{n}}} as n goes to infinity is zero "と言われます。lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{frac {1}{n}}=0}
と書かれます。
2 × n {displaystyle {2}times {n}}} となる。
.n {displaystyle {n}}
が大きくなると、極限は無限大になります。lim n → ∞ 2 × n = ∞ {displaystyle \lim _{n}to \infty }{2}times {n}=theinfty } のように書けます。
.
代数学の基本定理は複素解析学のいくつかの基本的な結果から証明することができる。これは、実数または複素数の係数を持つすべての多項式f ( x ) {displaystyle f(x)}
は複素根を持つというものである。根とは、解 f ( x ) = 0 {displaystyle f(x)=0}
を与える数xのことである。これらの根のいくつかは同じである可能性がある。
微分積分学
関数 f ( x ) = m x + c {displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}
は直線である。m {displaystyle {m}}
は関数の傾き、c {displaystyle {c}}
は関数の縦軸の位置を示しています。直線上に2点あれば、傾きm {displaystyle {m}} を計算することができる。
m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {displaystyle m={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}
.
f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}} という形の関数で、線形でないものは上記のように計算できません。
のように、線形でない関数は計算できない。接線と割線を使って傾きを計算するしかない。割線は2点を通過し、2点が近づくと接線に変わる。
新しい式は m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {displaystyle m={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}
.
これを差分商という。x 1 {displaystyle x_{1}}
は x 0 {displaystyle x_{0}} に近づいたことになる。
.これは次の式で表すことができる。
f′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {displaystyle f'(x)=@lim _{x}rightarrow x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}} _
.
この結果を点x {displaystyle {x}} におけるfの微分または傾きと呼びます。
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統合化
積分は面積の計算についてです。
記号 ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle \int _{a}^{b}f(x)},\mathrm {d} x}. 
は「fの積分、aからbまで」と読み、関数fのグラフであるx軸と直線x=a、x=bの間の面積を指します。a {displaystyle a}
が領域の開始点、b {displaystyle b}
が領域の終了点であるべき点です。
質問と回答
Q:数理解析とは何ですか?
A:数学的解析とは、数学の一部で、関数、数列、級数について調べるものです。連続関数，微分，積分を研究する微積分学に厳密な論理的基礎を提供します．
Q:数理解析の主要なサブフィールドにはどのようなものがありますか?
A:実解析、複素解析、微分方程式、関数解析などがあります。
Q:数理解析は工学でどのように使われるのですか?
A:関数、数列、級数などの有用な性質や特徴を調べることで、工学の分野で利用できます。
Q:数理解析の基礎の大部分を開発したのは誰ですか?
A:ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツとアイザック・ニュートンが、数理解析の基礎の大部分を開発した。
Q:数理解析の古い名前は何ですか?
A:数理解析の古い呼び名は「無限小」または「微積分」です。
Q: 微積分学は数学解析とどのように関係しているのですか?
A:微積分は連続関数，微分，積分を学びますが，これらはすべて数学解析学と呼ばれる数学の分野と関係があります．
