七角形（ヘプタゴン）：幾何学的性質、作図可能性と星形多角形

幾何学的性質

辺の長さを a とする正七角形の主要な量には、内角、中心角、および外接円との関係がある。各内角は (5/7)・180° ≈ 128.571°、各中心角は 360°/7 ≈ 51.429°である。外接円半径を R とすると、R = a / (2 sin(π/7)) であり、面積は A = (7/4) a2 cot(π/7) と表せる。正七角形の対称群は位数14の二面体群 D7 で、7つの回転と7つの反射から成る。

代数と作図に関する事実

一部の正多角形とは異なり、正七角形は古典的な定規とコンパスだけでは作図できない。この不可能性は代数的整数論の結果に基づく。頂点の座標は7乗根の1および特定の三角関数値と関係し、関連する余弦値の最小多項式の次数は2のべきより大きい。歴史的には、どの n 角形が作図可能かという研究からカール・フリードリヒ・ガウスによる判定基準が生まれ、ピエール・ヴァンツェルは n = 7 の場合に定規とコンパスによる作図が不可能であることを証明した。純粋な定規・コンパス作図を超える方法を用いれば厳密な作図も可能であり、多くの近似作図法も知られている。

星形多角形と関連図形

円周上に等間隔で置かれた7つの頂点からは、ヘプタグラムと呼ばれる星形多角形を作ることができる。異なる正ヘプタグラムは2種類あり、{7/2} と {7/3} で表される。各頂点を、2つ先または3つ先の頂点に結ぶため、異なる星形と交差パターンが生じる。これらの図形の研究はグラフ理論や、七芒星が象徴的に用いられる芸術的装飾と結び付いている。

用途と注目すべき事実

正七角形だけでは平面を敷き詰められず、三角形、正方形、六角形に比べて建築やタイル張りに用いられることは少ない。それでも、7辺のデザインはロゴ、装飾モチーフ、一部のゲーム用トークンに見られる（七面体のサイコロはまれである）。正七角形は定規とコンパスで作図できないため、ガロア理論や古典的作図問題を導入する講義では標準的な例となっている。

関連項目

• 一般の多角形と、面積・角度の公式
• 正 n 角形の作図可能性と円分多項式
• ヘプタグラムとその対称性