必要十分条件（同値）：「if and only if」の意味・記法・用法

定義と記法

二つの命題 A と B があるとき、「A if and only if B」は、文章でそのまま表すほか、A ↔ B または A ⟺ B と書ける。非形式的な数学の文章では、略語「iff」が広く用いられる。記号論理学では、双条件は二つの条件文の連言、すなわち (A → B) ∧ (B → A) と同値である。多くの形式体系において、この結合子は式と式の間の同値関係を表す役割を果たす。

意味論と真理条件

双条件の真理値表は単純である。A と B がともに真のとき真であり、A と B がともに偽のときも真である。A と B の一方だけが真である場合は偽となる。二つの含意が成り立つことを要求するため、「if and only if」は、A が B にとって十分であることと、A が B にとって必要であることの両方を主張する。命題論理では、双条件はブール代数における論理 XNOR 演算として示されることもある。

用法と例

• 数学における定義：多くの数学的定義では、正確な特徴づけを示すために「iff」が使われる。たとえば、ある数が偶数であるのは、それが整数の2倍に等しいとき、かつそのときに限る。
• 証明：双条件は通常、二つの方向を別々に証明して確立される。まず A → B を示し、次に B → A を示す。
• 計算機科学と工学：この論理的挙動は、デジタル回路の XNOR ゲート、およびブール代数における等値判定に対応する。関連する概念については、XNORと同値を参照。

区別と関連概念

双条件は、単一の条件文である「if（もし～ならば）」や、非形式的な因果表現と区別することが重要である。一方向の含意 A → B は、十分性、すなわち「A ならば B」を主張するだけであり、必要性までは主張しない。「A iff B」と述べることは、両方向を主張することである。述語論理では双条件は量化子を含む式にも拡張されるが、注意が必要である。量化子は含意と相互に作用するため、「iff」を適用する前に文を言い換える必要がある場合がある。

記法、文体、歴史的事項

記法には違いがある。英語の文献では「if and only if」または「iff」が使われ、↔ や ⟺ などの記号は形式的な文脈で用いられる。「iff」は数学では慣習的な略語だが、よりくだけた説明では完全な表現が選ばれることもある。双条件という概念は、近代的な記号論理学とブール代数の発展とともに生まれ、同値や厳密な定義を表す中心的な結合子であり続けている。

さらに背景を知るには、双条件が働くより広い形式体系を扱う論理学および数学の項目を参照。