ラグランジュの定理（群論）：有限群・部分群・剰余類の基本定理

定理の内容と用語

G を有限群、H を G の部分群とする。ラグランジュの定理は、|H| が |G| を割り切り、|G| = [G:H]・|H| であることを主張する。ここで [G:H] は H の指数を表す。剰余類とは、群の元によって H を移した集合である。左剰余類は gH、右剰余類は Hg の形をとる。H のすべての剰余類は同じ濃度をもち、G を等しい大きさのブロックに分割する。形式的な定理の記述についてはラグランジュの定理を、有限群の概念については有限群を参照。

証明の概略

証明では、G を H の剰余類へ分割することを用いる。H を固定し、左剰余類の集合 {gH : g は G の元} を考える。異なる剰余類は互いに素であり、G の各元はいずれかの剰余類に属するため、これらの剰余類は G の分割をなす。写像 h → gh は H から gH への全単射であるから、各剰余類はちょうど |H| 個の元をもつ。剰余類の大きさを足し合わせて G の元を数えると、|G| = [G:H]・|H| が得られ、したがって |H| は |G| を割り切る。

帰結と例

• 元の位数：g が G の元であれば、g の位数、すなわち g が生成する巡回部分群の大きさは |G| を割り切る。特に G が有限ならば、g|G| = e である。
• 素数位数の群：位数が素数 p である任意の群は巡回群であり、自明でない真部分群をもたない。このような群は位数 p の巡回群と同型である。これは、単位元でない任意の元が群全体を生成しなければならないことから従う。
• 指数と正規性：部分群の指数が 2 であれば、その部分群は G の正規部分群でなければならない。この場合、左剰余類と右剰余類が一致するためである。
• 軌道・固定部分群定理および関連する計数法は、同じ分割の考え方を用いており、ラグランジュの定理の背後にある計数原理を一般化する。

限界と注目すべき事実

ラグランジュの定理は部分群の位数に対する必要条件を与えるが、十分条件ではない。すなわち、|G| の約数が実際の部分群の位数に対応するとは限らない。標準的な例として、交代群 A4 は位数 12 であり、6 は 12 を割り切るにもかかわらず、位数 6 の部分群をもたない。コーシーの定理やシローの定理などの別の結果は、特定の素数冪位数をもつ部分群の存在について追加の保証を与えるが、これらには別個の仮定が必要である。

最後に、ラグランジュの定理は有限群にのみ適用される。無限群では大きさの関係は濃度によって測られ、異なる現象が生じる。剰余類および関連する構成については剰余類を、歴史的背景についてはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュを参照。