論理積（AND）

定義と真理値表

形式的には、論理積は二つの真理値を入力として受け取り、真理値を出力する関数である。二項論理積の標準的な四通りの真理値表は、次のとおりである。

1. 真 ∧ 真 = 真
2. 真 ∧ 偽 = 偽
3. 偽 ∧ 真 = 偽
4. 偽 ∧ 偽 = 偽

論理積はすべての入力が真であることを必要とするため、二つを超えるオペランドへ一般化する場合には、「すべて」または「各々」の演算子と呼ばれることがある。

代数的性質

• 可換性：A ∧ B = B ∧ A — 順序は結果に影響しない。
• 結合性：(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) — 結合の仕方は結果に影響しない。
• 冪等性：A ∧ A = A — 同じものを繰り返しても値は変わらない。
• 単位元：真は単位元として働く。A ∧ 真 = A。
• 零元：偽は零元として働く。A ∧ 偽 = 偽。
• 分配性：論理積は論理和に対して分配的であり、否定の下では論理和と双対の関係にある（ド・モルガンの法則）。

変種と区別

論理積は包括的な演算子であり、複数の文に適用した場合はすべてが真であることを要求する。これは、真の入力がちょうど一つであることを要求するXORのような排他的演算とは対照的である。ブール代数およびプログラミング言語では、論理積は∧、&、&&、・など複数の記号で実装され、評価戦略には微妙な違いがある。両方のオペランドを常に評価する形式もあれば、短絡演算子のように結果が確定した時点で評価を停止するものもある。

用途と例

論理積は多くの分野に現れる。デジタル電子回路では、ANDゲートが電圧レベルによってこの演算を実現し、すべての入力が高レベルのときにのみ高レベルを出力する。プログラミングでは、条件文が論理積を用いて、コードを実行する前に複数の条件を満たすことを要求する。数学では述語を結合して複合的な主張を形成する。証明および形式的推論では、論理積によって同時に成り立つ事実を記録できる。AとBを証明すればA ∧ Bが得られ、A ∧ Bからはいずれか一方の連言肢を推論できる。

論理積は単純でありながら表現力を備えるため、命題論理、述語論理、ブール代数の中核となる論理結合子であり、回路設計、ソフトウェアの条件、クエリフィルタなどの実用的な応用にも用いられる。その明確な真理関数的性質は、より複雑な論理式や推論システムを構築するための基盤となっている。