多様体（数学）：局所的にユークリッド空間と同等な空間
数学における多様体の概要。局所的にはユークリッドn次元空間のように見える空間を、座標近傍とアトラスによって説明する。曲線、曲面、双曲平面などの例、次元と基本的性質を解説する。
多様体とは、数学で用いられる用語であり、十分に小さな範囲で見ると、ある一定の次元をもつ通常の平坦な空間のように見える空間をいう。直観的には、どの小近傍もユークリッド空間の一部分のように振る舞う座標系（「座標近傍」）で記述できる。空間全体を覆うこのような座標近傍の集合は、重なり合う部分で記述が整合するよう、一定の規則に従わなければならない。重なり合う領域により異なる座標近傍を比較し、それらを貼り合わせて、アトラスと呼ばれる一つの大域的な記述を構成できる。
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簡単な説明
この考え方を思い描く一般的な方法は、幾何学で扱われる、ほぼ球である地球を考えることである。球面は三次元空間に埋め込まれた曲がった二次元の曲面だが、地図製作者は地球の一部ずつを表す多数の平坦な地図を作成する。一枚の平面地図だけで、歪みや切れ目なしに全体の表面を表すことはできない。そのため、互いに重なる複数の地図を用い、それらを合わせて球面全体を記述する。
ほかの例
- 双曲平面は、通常の平面とは異なる幾何学をもつ二次元多様体である。局所的には鞍状の形をもち、歪みなしには平坦化できない仕方で広がる。
- 物理学や工学に現れる曲線、曲面、および高次元の類似物も、局所的平坦性の条件を満たせば多様体である。
次元
すべての多様体には固定された次元があり、これは各座標近傍で必要となる座標の数を意味する。地球の例では、各地図が二次元であるため次元は2である。直線は一次元多様体であり、私たちの周囲の通常の空間は、多くの文脈で三次元多様体としてモデル化される。
関連項目
著者
AlegsaOnline.com 多様体（数学）：局所的にユークリッド空間と同等な空間 Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/61334