ユークリッドの平行線公準を用いない幾何学：双曲・楕円体系

主な種類

• 双曲幾何学：この幾何学では、ある一点を通り、与えられた直線と交わらない異なる直線が無限に存在する。双曲空間のモデルにはポアンカレ円板モデルや双曲面モデルがあり、この分野は一定の負の曲率の研究と結び付いている。双曲幾何学
• 楕円（球面）幾何学：ここでは、異なる二つの測地線が平行になることはない。球面上の任意の二つの大円は、互いに対蹠的な二点で交わる。これは一定の正の曲率に対応し、ユークリッド的な意味での平行線を持たない。

平行線と測地線

平行線の概念は、これらの体系ごとに異なる。平坦な平面、すなわちユークリッド幾何学では、平行線は一定の距離を保ち、決して交わらない。球面では、大円のような測地線は局所的には平行に見えても、別の場所で交差しうる。たとえば子午線は極で交わる。双曲空間では、ある一点を通る多数の測地線が、所定の基準直線を避ける。

例と応用

非ユークリッド的な性質を示す簡単な例は、球面上に「直線」を描くことである。点と点の間の最短経路は大円の弧であり、これらの弧は局所的な観点では平行に見えても交差することがある。非ユークリッド幾何学の考え方は現代の数学と物理学で重要であり、たとえば曲がった空間のモデルは一般相対性理論や、位相幾何学および群論の一部の領域で役割を果たす。

歴史的事項

19世紀初頭、ガウス、ヤーノシュ・ボヤイ、ニコライ・ロバチェフスキーらは、平行線公準に反する無矛盾な体系を発展させた。その後、ベルンハルト・リーマンは任意の曲率をもつ幾何学を記述した。彼らの研究は、ユークリッドの第5公準が論理的必然ではなく、直線と距離の大域的な振る舞いを決める選択であることを示した。