環は、通常は加法と乗法と呼ばれる二つの二項演算を備えた基本的な代数的構造である。これらの演算は分配法則によって関係づけられ、加法については可換群をなす。環は、なじみ深い多くの数体系や、数論・幾何学・代数的位相幾何学で用いられる代数的構成をまとめて扱う枠組みを与える。簡潔な概説は基本的な定義を参照。
定義と主要な性質
形式的には、環 (R, +, ·) は次の条件を満たす: 集合 R は + と · について閉じている; (R, +) は可換群である; 乗法は結合的である; そして乗法は両側から加法に分配する。環には乗法単位元 1 をもつものもあれば、乗法が可換なものもある。重要な派生概念として、単元（逆元をもつ要素）、零因子、イデアルがある。公理や変種の例については公理と変種を参照。
よく知られた例と構成
- 整数 Z、有理数 Q、実数 R、複素数 C（いずれも可換環であり、Q、R、C は体である）。
- 多項式環 R[x]。代数式やその根を表すのに用いられる。
- 行列環 M_n(R)。n>1 のとき、通常は非可換である。
- Z/nZ のような剰余環や、空間上の関数の環。
歴史と発展
現代の「環」という語は、19世紀後半にダーフィト・ヒルベルトが代数的整数の集合を表すために用いたドイツ語 Zahlring に由来する。20世紀には、エミー・ネーターをはじめとする代数学者が環とイデアルの抽象理論を発展させた。この公理的アプローチは、代数的数論や代数幾何学に現れる構造を明確にした。歴史的な注記はヒルベルトとネーターを参照。
変種、重要性と応用
代表的な区分には、可換環、整域（非零の零因子をもたない）、除法環、体がある。イデアルと環準同型は、方程式を解き、剰余環を構成するための共通の言語を与える。また、環上の加群はベクトル空間の一般化である。環は、代数幾何学（多様体の座標環）、数論（整数環、合同算術）、さらに符号理論や暗号理論において中心的な役割を果たす。関連事項としてイデアル、加群、応用を参照。