テッセラクト（4次元超立方体）— 四次元の立方体

構造と構成要素

テッセラクトは厳密な組合せ論的構造をもつ。その要素には頂点、辺、多角形の面、立方体の胞が含まれる。具体的には、テッセラクトは16個の頂点、32本の辺、24個の正方形の面、8個の立方体の胞から成る。これらは各頂点に4本の辺が接続し、各胞がほかの胞と合同な立方体となるよう配置されている。代数的には、4つの座標 x1…x4 が −1 ≤ x_i ≤ 1 を満たす点の集合として記述できる。この表現は、より少ない座標で正方形や立方体を記述する方法と対応している。

幾何学と回転

テッセラクトは4つの空間次元に存在するため、3次元には直接対応するもののない回転を許す。3次元では、回転は軸（1次元の集合）によって定まり、その軸に垂直な平面内での回転として図示できる。4次元では回転は2次元平面内で生じる。1回の回転で2つの座標方向を混合し、残る2方向を固定することも、互いに直交する2平面における独立した回転を組み合わせることもできる。多次元図形の一般的な導入については四次元図形を、正則多胞体の概説については正則4次元多胞体を参照。

• 類推：線分（1次元）、正方形（2次元）、立方体（3次元）、テッセラクト（4次元）。
• 典型的な座標：R4 において、各座標が [−1,1] に含まれるすべての点。
• 超立方体との関係：テッセラクトは超立方体の4次元の場合である。

次元を非形式的に説明する際には、通常の空間的な尺度である長さ、幅、高さに加え、第4の次元と表現される第4の直交方向を導入することが多い。この略式の説明は直観を養う助けとなるが、真の第4の空間方向を、投影その他の表現技法なしに通常の3次元空間へ埋め込むことはできない。

可視化、歴史、応用

テッセラクトの視覚的表現には、投影、断面、展開図が用いられる。一般的な図には、立方体の内部に別の立方体があり、それらが辺で結ばれた形として示すシュレーゲル図や、立方体が別の立方体へ変形するように見える回転アニメーションがある。「テッセラクト」という語は、高次元と数学教育を探究した著者らによって19世紀後半に広められ、英語では4次元立方体の標準的な名称であり続けている。純粋幾何学以外でも、コンピュータグラフィックス、データ可視化、高次元が考察される理論物理学の文脈で扱われ、文学や芸術では印象的なモチーフとして用いられる。

真のテッセラクトを3次元空間内に構築することはできないが、その性質は高次元幾何学において厳密に定義され、研究されている。非形式的またはフィクション上の用法と区別することは有用である。数学におけるテッセラクトは特定され、明確に定義された多胞体である一方、大衆文化ではより比喩的に使われることがある。