連続整数の定義・性質・公式と例

基本的な性質

初等的な数論や代数学でよく現れる主な性質は次のとおりです。

• 平均値と中央値が等しい: 有限個の連続整数では、分布が対称なので算術平均は中央値に等しくなります。平均と中央値の標準的な説明は こちら。
• 等差数列: 連続整数の公差は 1 なので、等差数列の公式がそのまま使えます。
• 偶奇の交互性: 連続整数は偶数と奇数が交互に現れるため、任意の2つの連続整数は互いに素です。
• 集合と範囲: 連続する整数集合 {a, a+1, ..., b} の要素数は b-a+1 個です。有限集合については 関連資料 も参照できます。

公式と例

連続整数の和や平均には、簡潔な閉じた形の公式があります。n から始まる k 個の連続整数の和は k*n + k(k-1)/2 で、これは等差数列の和を求めれば得られます。0 を中心に対称な列、たとえば -m,...,0,...,m では、和は 0 になります。小さな例として、4, 5, 6 の3つの連続整数の和は 15、平均は 5 です。-3, -2, -1 のような負の連続整数の和は -6、平均は -2 です。

用途と問題解決

連続整数は、代数的な問題解決や、背理法、偶奇を使った証明で頻繁に用いられます。典型的なコンテスト問題では、ある性質をもつ連続整数の存在が問われます（たとえば、積が特定の余りをもつ連続整数など）。偶奇が交互に現れることや、単純な割り切れ方の性質は、合同算術や組合せ論でも役立ちます。

区別と関連概念

よく似た概念に、連続偶数整数（2n, 2n+2, ... のように差が 2 の数）と連続奇数整数（2n+1, 2n+3, ...）があります。連続整数は、連続するべき乗や連続素数と混同しないように注意が必要です。連続素数とは素数の並びの中で隣り合って現れる素数のことで、固定の加法的な差をもつわけではありません。背景知識や例については、初等数論の資料を こちら で参照してください。